Номер 4.1, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.1. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр?

а) правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Он является одним из пяти платоновых тел.

Грани: По определению, у тетраэдра 4 грани. Все они — правильные треугольники.

Вершины: Тетраэдр можно представить как треугольную пирамиду. У него 3 вершины в основании и 1 вершина вверху (апекс). Итого 4 вершины.

Рёбра: У тетраэдра 3 ребра в основании и 3 боковых ребра, соединяющих вершины основания с апексом. Итого 6 рёбер. Также можно посчитать по-другому: у тетраэдра 4 грани, каждая из которых имеет 3 ребра. Если мы просто умножим $4 \times 3 = 12$, то каждое ребро будет посчитано дважды, так как оно принадлежит двум граням. Поэтому количество рёбер равно $Р = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Для проверки можно использовать формулу Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней. Подставляем наши значения: $4 - 6 + 4 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: правильный тетраэдр имеет 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани.

б) куб

Куб (или правильный гексаэдр) — это многогранник, все грани которого являются квадратами. Это также одно из платоновых тел.

Грани: По определению, у куба 6 граней, и все они — квадраты.

Вершины: Куб имеет 4 вершины на верхнем основании и 4 вершины на нижнем основании. Итого 8 вершин.

Рёбра: У куба 4 ребра на верхнем основании, 4 ребра на нижнем основании и 4 боковых ребра, соединяющих основания. Итого $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер. Альтернативный подсчёт: у куба 6 граней, каждая имеет 4 ребра. Каждое ребро общее для двух граней, поэтому число рёбер равно $Р = \frac{6 \times 4}{2} = 12$.

Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 8 - 12 + 6 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: куб имеет 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней.

в) октаэдр

Правильный октаэдр — это многогранник, ограниченный восемью равносторонними треугольниками. Это одно из платоновых тел.

Грани: Название "октаэдр" указывает на то, что у него 8 граней (от греческого "окто" — восемь).

Вершины: Октаэдр можно представить как две четырёхугольные пирамиды, соединённые основаниями. У него 1 вершина сверху, 1 вершина снизу и 4 вершины в общей плоскости оснований. Итого 6 вершин. Альтернативный подсчёт: в каждой вершине октаэдра сходятся 4 треугольные грани. Общее число вершин, если считать по граням, равно $8 \times 3 = 24$. Делим на 4, так как каждая вершина принадлежит четырём граням: $В = \frac{8 \times 3}{4} = 6$.

Рёбра: У октаэдра 12 рёбер. Можно посчитать через грани: 8 граней по 3 ребра в каждой, и каждое ребро общее для двух граней. $Р = \frac{8 \times 3}{2} = 12$.

Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 6 - 12 + 8 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: октаэдр имеет 6 вершин, 12 рёбер и 8 граней.

г) икосаэдр

Правильный икосаэдр — это многогранник, ограниченный двадцатью равносторонними треугольниками. Это одно из платоновых тел.

Грани: Название "икосаэдр" говорит о 20 гранях (от греческого "эйкоси" — двадцать).

Рёбра: У икосаэдра 20 треугольных граней. Каждая грань имеет 3 ребра. Каждое ребро является общим для двух смежных граней. Следовательно, общее число рёбер равно $Р = \frac{20 \times 3}{2} = 30$.

Вершины: В каждой вершине икосаэдра сходится 5 рёбер (и 5 граней). Каждая грань имеет 3 вершины. Чтобы найти общее число вершин, можно умножить число граней на число вершин в одной грани и разделить на число граней, сходящихся в одной вершине: $В = \frac{20 \times 3}{5} = 12$.

Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 12 - 30 + 20 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: икосаэдр имеет 12 вершин, 30 рёбер и 20 граней.

д) додекаэдр

Правильный додекаэдр — это многогранник, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками. Это одно из платоновых тел.

Грани: Название "додекаэдр" указывает на 12 граней (от греческого "додека" — двенадцать).

Рёбра: У додекаэдра 12 пятиугольных граней. Каждая грань имеет 5 рёбер. Каждое ребро является общим для двух смежных граней. Следовательно, общее число рёбер равно $Р = \frac{12 \times 5}{2} = 30$.

Вершины: В каждой вершине додекаэдра сходится 3 ребра (и 3 грани). Каждая грань имеет 5 вершин. Чтобы найти общее число вершин, можно умножить число граней на число вершин в одной грани и разделить на число граней, сходящихся в одной вершине: $В = \frac{12 \times 5}{3} = 20$.

Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 20 - 30 + 12 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: додекаэдр имеет 20 вершин, 30 рёбер и 12 граней.