Номер 3.9, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.9. Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды?

Соотношение Эйлера для многогранников, которые гомеоморфны сфере (то есть для простых многогранников без «дырок» и самопересечений), гласит, что $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, а $Г$ — число граней.

Рассмотрим произвольную невыпуклую пирамиду. Пирамида является невыпуклой, если в её основании лежит невыпуклый многоугольник. Пусть в основании нашей пирамиды лежит невыпуклый $n$-угольник (где $n \ge 4$, поскольку любой треугольник является выпуклым).

Подсчитаем количество вершин, рёбер и граней такой пирамиды.

1. Число вершин (В): Основание имеет $n$ вершин. Кроме того, есть одна вершина — апекс (вершина пирамиды), не лежащая в плоскости основания. Таким образом, общее число вершин составляет:
$В = n + 1$.

2. Число рёбер (Р): Основание имеет $n$ рёбер. Также имеется $n$ боковых рёбер, которые соединяют каждую вершину основания с апексом. Таким образом, общее число рёбер составляет:
$Р = n + n = 2n$.

3. Число граней (Г): Имеется одна грань в основании (это наш невыпуклый $n$-угольник) и $n$ боковых граней, каждая из которых является треугольником. Таким образом, общее число граней составляет:
$Г = 1 + n$.

Теперь подставим полученные значения в формулу Эйлера ($В - Р + Г$):
$(n + 1) - (2n) + (1 + n) = n + 1 - 2n + 1 + n = (n - 2n + n) + (1 + 1) = 0 + 2 = 2$.

Полученное значение равно 2, что соответствует формуле Эйлера. Следовательно, соотношение Эйлера выполняется для любой пирамиды, независимо от того, является ли она выпуклой или невыпуклой. Это обусловлено тем, что любая пирамида (как и любой выпуклый многогранник) является простым многогранником, топологически эквивалентным сфере, а для всех таких многогранников формула Эйлера верна. Геометрическое свойство выпуклости не влияет на это фундаментальное топологическое соотношение.

Ответ: Да, соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды выполняется.