Номер 3.10, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.10. Найдите число вершин, ребер и граней для многогранника, изображенного на рисунке 3.6. Выполняется ли для него соотношение Эйлера?

Рис. 3.6

Для решения задачи необходимо последовательно посчитать количество вершин, ребер и граней у многогранника, изображенного на рисунке, а затем проверить для него справедливость соотношения Эйлера. Данный многогранник является усеченной четырехугольной пирамидой.

Найдите число вершин, ребер и граней

1. Вершины (В): У многогранника есть два основания — верхнее и нижнее. Каждое основание является четырехугольником и имеет по 4 вершины. Таким образом, общее число вершин составляет: $В = 4 \text{ (на верхнем основании)} + 4 \text{ (на нижнем основании)} = 8$.

2. Ребра (Р): Посчитаем ребра. Верхнее основание имеет 4 ребра, нижнее основание также имеет 4 ребра. Кроме того, 4 боковых ребра соединяют вершины верхнего и нижнего оснований. Итоговое число ребер: $Р = 4 + 4 + 4 = 12$.

3. Грани (Г): Многогранник ограничен гранями. У него есть 1 верхняя грань (основание), 1 нижняя грань (основание) и 4 боковые грани. Общее число граней: $Г = 1 + 1 + 4 = 6$.

Ответ: число вершин — 8, число ребер — 12, число граней — 6.

Выполняется ли для него соотношение Эйлера?

Соотношение (или формула) Эйлера для выпуклых многогранников гласит, что число вершин минус число ребер плюс число граней всегда равно двум. Формула имеет вид: $В - Р + Г = 2$.

Подставим найденные значения в эту формулу:

$В = 8$

$Р = 12$

$Г = 6$

Проведем вычисление: $8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$.

Поскольку результат вычисления $2$ совпадает с правой частью формулы Эйлера ($2=2$), соотношение выполняется.

Ответ: да, для данного многогранника соотношение Эйлера выполняется.