Номер 3.12, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.12. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится три пятиугольника. Сколько у него вершин ($\text{В}$), ребер ($\text{Р}$), граней ($\text{Г}$)?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников, а также установим связи между числом вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) на основе условий задачи.

1. Из условия известно, что все грани многогранника — это пятиугольники. У каждого пятиугольника 5 ребер. Если умножить количество граней (Г) на 5, мы получим общее число сторон всех граней. Так как каждое ребро является общим для двух смежных граней, это произведение будет вдвое больше числа ребер многогранника. Таким образом, мы получаем первое соотношение:
$2 \cdot Р = 5 \cdot Г$

2. Также по условию в каждой вершине (В) сходятся три грани, а значит, и три ребра. Если умножить количество вершин на 3, мы получим общее число ребер, выходящих из всех вершин. Поскольку каждое ребро соединяет ровно две вершины, это произведение также будет вдвое больше числа ребер. Отсюда следует второе соотношение:
$2 \cdot Р = 3 \cdot В$

3. Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера:
$В - Р + Г = 2$

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Выразим В и Г через Р из первых двух уравнений:
$В = \frac{2}{3}Р$
$Г = \frac{2}{5}Р$

Подставим полученные выражения в формулу Эйлера:
$(\frac{2}{3}Р) - Р + (\frac{2}{5}Р) = 2$

Чтобы решить это уравнение, приведем все члены с Р к общему знаменателю (15):
$\frac{10 \cdot Р}{15} - \frac{15 \cdot Р}{15} + \frac{6 \cdot Р}{15} = 2$
$\frac{10Р - 15Р + 6Р}{15} = 2$
$\frac{Р}{15} = 2$
Отсюда находим, что $Р = 30$.

Зная количество ребер, мы можем определить количество вершин и граней.

В
Количество вершин находим из соотношения $В = \frac{2}{3}Р$.
$В = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$.
Ответ: 20.

Р
Количество ребер было найдено в ходе решения системы уравнений.
$Р = 30$.
Ответ: 30.

Г
Количество граней находим из соотношения $Г = \frac{2}{5}Р$.
$Г = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12$.
Ответ: 12.

Таким образом, данный многогранник (который является правильным додекаэдром) имеет 20 вершин, 30 ребер и 12 граней.