Номер 4.2, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.2. Треугольную бипирамиду сложили из двух правильных тетраэдров, совместив их грани (частица "би" означает удвоение). Будет ли получившийся многогранник правильным? Почему?

Для того чтобы выпуклый многогранник был правильным (являлся одним из Платоновых тел), он должен удовлетворять двум условиям:1. Все его грани должны быть равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками.2. Во всех его вершинах должно сходиться одинаковое число граней.

Рассмотрим многогранник, полученный в результате соединения двух правильных тетраэдров по одной из их граней. Правильный тетраэдр — это многогранник, у которого все 4 грани являются равными равносторонними треугольниками.

Проверим выполнение этих двух условий для получившейся треугольной бипирамиды.

Первое условие выполняется. Грани исходных тетраэдров — это равносторонние треугольники. При соединении одна грань каждого тетраэдра становится внутренней, а оставшиеся $4-1+4-1=6$ граней формируют поверхность нового многогранника. Все эти 6 граней являются равными между собой равносторонними треугольниками.

Проверим второе условие. У получившегося многогранника есть 5 вершин. Эти вершины можно разделить на два типа по количеству сходящихся в них граней:- Две вершины, которые являются "верхушками" исходных тетраэдров (не лежат в плоскости их общего основания). В каждой из этих двух вершин сходятся по 3 грани, как и в любой вершине одиночного тетраэдра.- Три вершины, которые образуют общее основание (треугольник, по которому соединялись тетраэдры). В каждой из этих трех вершин сходятся по 4 грани: две грани от "верхнего" тетраэдра и две от "нижнего".

Так как в разных вершинах многогранника сходится разное количество граней (в двух вершинах по 3 грани, а в трех других — по 4), второе условие для правильного многогранника не выполняется.

Ответ: Нет, получившийся многогранник не будет правильным. Несмотря на то, что все его грани являются равными правильными треугольниками, в его вершинах сходится разное количество граней, что нарушает определение правильного многогранника.