Номер 3.11, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.11. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится четыре треугольника. Сколько у него вершин ($B$), ребер ($P$), граней ($\Gamma$)?

Для решения этой задачи обозначим количество вершин многогранника как В, количество ребер как Р, и количество граней как Г. Используя условия, данные в задаче, и свойства выпуклых многогранников, составим систему уравнений.

По условию, все грани многогранника являются треугольниками. У каждого треугольника 3 ребра. Если мы просуммируем рёбра по всем граням, получим $3 \times Г$. Поскольку каждое ребро принадлежит двум граням, эта сумма равна удвоенному количеству ребер многогранника. Отсюда получаем первое соотношение: $3Г = 2Р$.

Также по условию, в каждой вершине сходится четыре треугольника, что означает, что в каждой вершине сходятся и четыре ребра. Если просуммировать рёбра по всем вершинам, получим $4 \times В$. Так как каждое ребро соединяет ровно две вершины, эта сумма также равна удвоенному количеству ребер. Отсюда получаем второе соотношение: $4В = 2Р$, или $Р = 2В$.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, которая связывает число его вершин, ребер и граней: $В - Р + Г = 2$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения В, Р и Г:
1) $3Г = 2Р$
2) $Р = 2В$
3) $В - Р + Г = 2$

Выразим В и Г через Р из первых двух уравнений. Из (2) имеем $В = \frac{Р}{2}$. Из (1) имеем $Г = \frac{2Р}{3}$. Подставим эти выражения в формулу Эйлера (3):
$\frac{Р}{2} - Р + \frac{2Р}{3} = 2$

Для решения уравнения относительно Р приведем левую часть к общему знаменателю 6:
$\frac{3Р}{6} - \frac{6Р}{6} + \frac{4Р}{6} = 2$
$\frac{3Р - 6Р + 4Р}{6} = 2$
$\frac{Р}{6} = 2$

Теперь мы можем найти значения для В, Р и Г.

(Р): Из последнего уравнения $\frac{Р}{6} = 2$ находим количество ребер: $Р = 6 \times 2 = 12$.
Ответ: 12 ребер.

(В): Используем соотношение $В = \frac{Р}{2}$. Подставив найденное значение $Р = 12$, получаем количество вершин: $В = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: 6 вершин.

(Г): Используем соотношение $Г = \frac{2Р}{3}$. Подставив $Р = 12$, получаем количество граней: $Г = \frac{2 \times 12}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
Ответ: 8 граней.