Номер 3.6, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.6. Для сеток, изображенных на рисунке 3.4, укажите соответствующий многогранник.

а)

б)

Рис. 3.4

а) Изображение представляет собой проекцию многогранника на плоскость (диаграмму Шлегеля). В центре видна шестиугольная грань, которая окружена шестью четырехугольными гранями. Внешний контур, также являющийся шестиугольником, представляет собой еще одну грань (основание). Таким образом, многогранник состоит из двух параллельных шестиугольных граней и шести боковых четырехугольных граней. Эта структура соответствует шестиугольной призме.
Проведем подсчет элементов многогранника:
- Количество вершин (В): 6 вершин на внутреннем шестиугольнике и 6 на внешнем, итого $В = 12$.
- Количество ребер (Р): 6 ребер у внутреннего шестиугольника, 6 ребер у внешнего и 6 ребер, соединяющих соответствующие вершины, итого $Р = 6 + 6 + 6 = 18$.
- Количество граней (Г): 2 шестиугольные грани (внутренняя и внешняя) и 6 четырехугольных боковых граней, итого $Г = 2 + 6 = 8$.
Проверим соотношение по формуле Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$.
$12 - 18 + 8 = 2$.
Соотношение выполняется, что подтверждает наш вывод.
Ответ: Шестиугольная призма.

б) Данное изображение также является проекцией многогранника. Мы видим 5 треугольных граней, которые сходятся в одной общей вершине (в центре). Внешний контур представляет собой пятиугольник, который является основанием многогранника. Такая структура, состоящая из многоугольного основания и треугольных боковых граней, сходящихся в одной вершине (апексе), характерна для пирамиды. В данном случае это пятиугольная пирамида.
Проведем подсчет элементов многогранника:
- Количество вершин (В): 1 центральная вершина (апекс) и 5 вершин в основании, итого $В = 1 + 5 = 6$.
- Количество ребер (Р): 5 ребер в основании и 5 боковых ребер, соединяющих вершины основания с апексом, итого $Р = 5 + 5 = 10$.
- Количество граней (Г): 1 пятиугольная грань (основание) и 5 треугольных боковых граней, итого $Г = 1 + 5 = 6$.
Проверим соотношение по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 2$.
$6 - 10 + 6 = 2$.
Соотношение выполняется, что подтверждает наш вывод.
Ответ: Пятиугольная пирамида.