Номер 3.7, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.7 Проверьте, выполняется ли равенство Эйлера для многогранников, изображенных на рисунке 3.5.

а)

б)

Рис. 3.5

Равенство (или формула) Эйлера для многогранников, топологически эквивалентных сфере (то есть не имеющих сквозных отверстий), связывает число их вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) следующим соотношением: $В - Р + Г = 2$. Проверим, выполняется ли это равенство для заданных многогранников.

а)

Для многогранника, изображенного на рисунке а), подсчитаем количество вершин, рёбер и граней. Эту фигуру можно рассматривать как результат соединения двух прямоугольных параллелепипедов по одной из их граней.

Число вершин (В): У каждого исходного параллелепипеда 8 вершин. При их соединении вдоль одной общей грани, 4 вершины этой грани становятся общими для двух частей. Следовательно, общее число вершин: $В = 8 + 8 - 4 = 12$.

Число граней (Г): У каждого параллелепипеда по 6 граней. При соединении две грани (по одной от каждого) "склеиваются" и перестают быть внешними гранями итоговой фигуры. Таким образом, общее число граней: $Г = 6 + 6 - 2 = 10$.

Число рёбер (Р): У каждого параллелепипеда по 12 рёбер. При соединении 4 ребра, принадлежащие общей грани, также становятся общими. Общее число рёбер: $Р = 12 + 12 - 4 = 20$.

Теперь проверим выполнение равенства Эйлера, подставив найденные значения:

$В - Р + Г = 12 - 20 + 10 = -8 + 10 = 2$.

Равенство выполняется.

Ответ: для многогранника а) равенство Эйлера выполняется, так как $12 - 20 + 10 = 2$.

б)

Для многогранника на рисунке б) также проведем подсчет. Эту фигуру можно представить как большой прямоугольный параллелепипед, из которого сверху вырезан сквозной "жёлоб", также имеющий форму прямоугольного параллелепипеда.

Число вершин (В): Подсчитаем вершины по уровням. На нижнем основании 4 вершины. На верхнем сложном контуре (включая "жёлоб") имеется 8 вершин. Итого: $В = 4 + 8 = 12$.

Число граней (Г): Подсчитаем все плоские поверхности. Нижняя грань (1), передняя и задняя (2), левая и правая боковые (2). Верхняя поверхность состоит из двух площадок и дна жёлоба (3). Боковые стенки жёлоба (2). Итого: $Г = 1 + 2 + 2 + 3 + 2 = 10$.

Число рёбер (Р): Подсчитаем рёбра по группам. В основании 4 ребра. Вертикальных рёбер 8 (4 по внешним углам и 4 по внутренним углам жёлоба). На верхнем контуре также 8 рёбер. Итого: $Р = 4 + 8 + 8 = 20$.

Проверим равенство Эйлера для этой фигуры:

$В - Р + Г = 12 - 20 + 10 = -8 + 10 = 2$.

Равенство выполняется.

Ответ: для многогранника б) равенство Эйлера выполняется, так как $12 - 20 + 10 = 2$.