Номер 3.8, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.8. Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы?

Да, соотношение Эйлера выполняется для любой невыпуклой призмы. Это связано с тем, что формула Эйлера является топологической характеристикой, и для всех простых многогранников (то есть многогранников без сквозных отверстий, поверхность которых гомеоморфна сфере) она справедлива. Невыпуклые призмы, если их основания являются простыми многоугольниками (без самопересечений), относятся именно к такому классу многогранников.

Соотношение Эйлера для многогранников имеет вид: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, а $Г$ — число граней.

Давайте проверим это утверждение на примере произвольной $n$-угольной призмы. Невыпуклой она будет, если в ее основании лежит невыпуклый $n$-угольник. Подсчитаем количество ее элементов:
Вершины (В): У призмы два основания, каждое из которых является $n$-угольником. Следовательно, у каждого основания по $n$ вершин. Общее число вершин: $В = 2n$.
Ребра (Р): Каждое из двух оснований имеет по $n$ ребер. Кроме того, есть $n$ боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Общее число ребер: $Р = n + n + n = 3n$.
Грани (Г): Призма имеет два основания (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней (являющихся параллелограммами). Общее число граней: $Г = n + 2$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = (2n) - (3n) + (n + 2) = 2n - 3n + n + 2 = 2$

Как видно из вычислений, результат равен 2 и не зависит ни от числа сторон многоугольника в основании ($n$), ни от того, является ли этот многоугольник выпуклым или невыпуклым. Таким образом, формула верна для любой призмы, основание которой является простым многоугольником.

Ответ: да, выполняется.