Вопросы, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой выпуклый многогранник называется правильным?

2. Какой многогранник называется: а) правильным тетраэдром; б) октаэдром; в) икосаэдром; г) гексаэдром; д) додекаэдром?

3. Кто занимался изучением правильных многогранников?

1. Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Существует всего пять видов правильных многогранников, также известных как Платоновы тела. Для всех них выполняется теорема Эйлера о соотношении числа вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г): $В - Р + Г = 2$.
Ответ: Выпуклый многогранник, все грани которого — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине которого сходится одинаковое число рёбер.

2.

а) правильным тетраэдром называется многогранник, составленный из четырёх равных равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. У правильного тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Ответ: Многогранник, ограниченный четырьмя равными равносторонними треугольниками.

б) октаэдром называется многогранник, составленный из восьми равных равносторонних треугольников. Он имеет 8 граней, 6 вершин (в каждой сходится по 4 ребра) и 12 рёбер. Его можно представить как две правильные четырёхугольные пирамиды, соединённые основаниями.
Ответ: Многогранник, ограниченный восемью равными равносторонними треугольниками.

в) икосаэдром называется многогранник, составленный из двадцати равных равносторонних треугольников. Он является самым сложным из Платоновых тел по числу граней. Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин (в каждой сходится по 5 рёбер) и 30 рёбер.
Ответ: Многогранник, ограниченный двадцатью равными равносторонними треугольниками.

г) гексаэдром (или кубом) называется многогранник, составленный из шести равных квадратов. Это самый известный из правильных многогранников. Гексаэдр имеет 6 граней, 8 вершин (в каждой сходится по 3 ребра) и 12 рёбер.
Ответ: Многогранник, ограниченный шестью равными квадратами.

д) додекаэдром называется многогранник, составленный из двенадцати равных правильных пятиугольников. Он имеет 12 граней, 20 вершин (в каждой сходится по 3 ребра) и 30 рёбер.
Ответ: Многогранник, ограниченный двенадцатью равными правильными пятиугольниками.

3. Изучением правильных многогранников занимались многие учёные с глубокой древности. Первые систематические знания приписывают древним грекам. Среди них ключевыми фигурами являются:
• Пифагорейцы (VI век до н.э.), которые, как считается, открыли и изучали свойства тетраэдра, куба и додекаэдра.
• Теэтет Афинский (ок. 417–369 гг. до н.э.), которому приписывают математическое доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.
• Платон (ок. 428–348 гг. до н.э.), который в своём диалоге «Тимей» сопоставил четыре многогранника с классическими стихиями (тетраэдр — огонь, куб — земля, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода), а пятый, додекаэдр, с мирозданием в целом. Из-за этого их часто называют «Платоновыми телами».
• Евклид (ок. 300 г. до н.э.), который в XIII книге своих «Начал» дал полное математическое описание всех пяти правильных многогранников и способы их построения.
Позднее, в эпоху Возрождения, ими занимался Иоганн Кеплер, который использовал их для построения своей космологической модели Солнечной системы.
Ответ: Изучением правильных многогранников занимались учёные Древней Греции, в частности Пифагор, Теэтет Афинский, Платон и Евклид, а позже — Иоганн Кеплер и другие математики.