Номер 4.3, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.3. Четырехугольную бипирамиду сложили, совместив основания двух четырехугольных пирамид, боковыми гранями которых являются правильные треугольники. Будет ли получившийся многогранник правильным?

Для того чтобы многогранник был правильным (платоновым телом), он должен удовлетворять трем условиям:

1. Он должен быть выпуклым.

2. Все его грани должны быть равными друг другу правильными многоугольниками.

3. В каждой его вершине должно сходиться одинаковое число граней.

Рассмотрим многогранник, полученный в результате соединения оснований двух четырехугольных пирамид. По условию, боковыми гранями каждой пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Пусть длина стороны такого треугольника равна $a$.

Это означает, что все боковые ребра каждой из двух пирамид имеют длину $a$, и стороны их общего основания также имеют длину $a$. Следовательно, общее основание — это ромб со стороной $a$.

Вершина каждой пирамиды ($V_1$ и $V_2$) равноудалена от всех вершин основания ($A, B, C, D$), так как боковые ребра $V_1A, V_1B, V_1C, V_1D$ равны $a$. Это означает, что проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром описанной окружности этого основания. Таким образом, основание должно быть вписанным четырехугольником. Ромб является вписанным четырехугольником только в том случае, если он является квадратом. Значит, общее основание двух пирамид — это квадрат со стороной $a$.

Полученный многогранник — это четырехугольная бипирамида, у которой все 8 граней являются равными правильными треугольниками со стороной $a$. Такой многогранник называется правильным октаэдром. Проверим, является ли он правильным многогранником согласно определению.

1. Выпуклость. Полученная фигура является выпуклой, так как она образована объединением двух правильных пирамид, соединенных по общему основанию.

2. Грани. Все 8 граней являются равными правильными треугольниками. Это условие выполнено.

3. Вершины. Проверим, сколько граней сходится в каждой вершине. У бипирамиды есть два типа вершин:

- Две "полярные" вершины, которые были вершинами исходных пирамид. В каждой из этих вершин сходятся 4 треугольные грани (боковые грани соответствующей пирамиды).

- Четыре "экваториальные" вершины, лежащие в плоскости общего квадратного основания. В каждой из этих вершин сходятся также 4 треугольные грани: две от верхней пирамиды и две от нижней.

Поскольку в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число граней (по 4), это условие также выполняется.

Так как все три условия выполнены, полученный многогранник является правильным.

Ответ: Да, получившийся многогранник будет правильным (это правильный октаэдр).