Номер 4.10, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.10. Соединение каких двух многогранников изображено на рисунке 4.8?

Рис. 4.8

На рисунке 4.8 изображено соединение двух правильных многогранников, которые являются двойственными (дуальными) друг другу: икосаэдра и додекаэдра.

Икосаэдр — это один из пяти платоновых тел, правильный многогранник, состоящий из $20$ равносторонних треугольных граней. У него $12$ вершин, в каждой из которых сходится по $5$ граней, и $30$ рёбер.

Додекаэдр — это также платоново тело, правильный многогранник, состоящий из $12$ правильных пятиугольных граней. У него $20$ вершин, в каждой из которых сходится по $3$ грани, и $30$ рёбер.

Соединение этих двух многогранников образуется при их совмещении в одном центре таким образом, чтобы вершины одного многогранника располагались над центрами граней другого. В этой двойственной конфигурации $12$ вершин икосаэдра образуют остроконечные выступы (шипы) соединения, так как каждая из этих вершин расположена на перпендикуляре, восстановленном из центра соответствующей пятиугольной грани додекаэдра. В свою очередь, $20$ вершин додекаэдра образуют более пологие вершины, находящиеся во впадинах между "шипами", поскольку каждая из этих вершин расположена на перпендикуляре из центра соответствующей треугольной грани икосаэдра.

В результате такого взаимопроникновения все грани исходных многогранников пересекаются. Поверхность получившегося звёздчатого многогранника состоит из видимых частей исходных граней. Хотя додекаэдр имеет пятиугольные грани, на поверхности соединения они оказываются разбиты рёбрами икосаэдра на более мелкие треугольные участки. Таким образом, вся поверхность составного многогранника покрыта треугольниками, как и показано на рисунке.

Общее тело, являющееся пересечением икосаэдра и додекаэдра, — это архимедово тело икосододекаэдр. Выступы на изображённой фигуре представляют собой пирамиды, построенные на гранях этого икосододекаэдра.

Ответ: На рисунке изображено соединение правильного икосаэдра и правильного додекаэдра.