Страница 29 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.12. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится три пятиугольника. Сколько у него вершин ($\text{В}$), ребер ($\text{Р}$), граней ($\text{Г}$)?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников, а также установим связи между числом вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) на основе условий задачи.

1. Из условия известно, что все грани многогранника — это пятиугольники. У каждого пятиугольника 5 ребер. Если умножить количество граней (Г) на 5, мы получим общее число сторон всех граней. Так как каждое ребро является общим для двух смежных граней, это произведение будет вдвое больше числа ребер многогранника. Таким образом, мы получаем первое соотношение:
$2 \cdot Р = 5 \cdot Г$

2. Также по условию в каждой вершине (В) сходятся три грани, а значит, и три ребра. Если умножить количество вершин на 3, мы получим общее число ребер, выходящих из всех вершин. Поскольку каждое ребро соединяет ровно две вершины, это произведение также будет вдвое больше числа ребер. Отсюда следует второе соотношение:
$2 \cdot Р = 3 \cdot В$

3. Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера:
$В - Р + Г = 2$

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Выразим В и Г через Р из первых двух уравнений:
$В = \frac{2}{3}Р$
$Г = \frac{2}{5}Р$

Подставим полученные выражения в формулу Эйлера:
$(\frac{2}{3}Р) - Р + (\frac{2}{5}Р) = 2$

Чтобы решить это уравнение, приведем все члены с Р к общему знаменателю (15):
$\frac{10 \cdot Р}{15} - \frac{15 \cdot Р}{15} + \frac{6 \cdot Р}{15} = 2$
$\frac{10Р - 15Р + 6Р}{15} = 2$
$\frac{Р}{15} = 2$
Отсюда находим, что $Р = 30$.

Зная количество ребер, мы можем определить количество вершин и граней.

В
Количество вершин находим из соотношения $В = \frac{2}{3}Р$.
$В = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$.
Ответ: 20.

Р
Количество ребер было найдено в ходе решения системы уравнений.
$Р = 30$.
Ответ: 30.

Г
Количество граней находим из соотношения $Г = \frac{2}{5}Р$.
$Г = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12$.
Ответ: 12.

Таким образом, данный многогранник (который является правильным додекаэдром) имеет 20 вершин, 30 ребер и 12 граней.

3.13. Повторите определение правильного многоугольника. Попробуйте дать определение правильного многогранника.

Повторите определение правильного многоугольника.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который одновременно является равносторонним и равноугольным. Это означает, что все его стороны имеют одинаковую длину, и все его внутренние углы равны между собой. Например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник являются правильными многоугольниками. Величина внутреннего угла правильного n-угольника может быть вычислена по формуле: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $.

Ответ: Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Попробуйте дать определение правильного многогранника.

По аналогии с определением правильного многоугольника, можно определить правильный многогранник. Правильный многогранник (также известный как Платоново тело) — это трёхмерное тело, обладающее высокой степенью симметрии. Для того чтобы многогранник был правильным, он должен удовлетворять трём условиям: 1) он должен быть выпуклым; 2) все его грани должны быть равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками; 3) в каждой его вершине должно сходиться одинаковое число рёбер (и, соответственно, граней). Существует всего пять правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Ответ: Правильный многогранник – это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными между собой правильными многоугольниками, и в каждой вершине которого сходится одинаковое число граней.