Номер 8.13, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.13. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1 см. Найдите радиус большего основания этого усеченного конуса.

Обозначим образующую усеченного конуса как $l$, радиус меньшего основания как $r$, радиус большего основания как $R$ и угол наклона образующей к плоскости основания как $\alpha$.
Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
образующая $l = 2$ см;
радиус меньшего основания $r = 1$ см;
угол наклона образующей $\alpha = 60^{\circ}$.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса $l$, а основания трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$).
Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее основание. В результате этой операции образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- гипотенуза равна образующей конуса $l$;
- один из катетов равен высоте усеченного конуса $h$;
- второй катет равен разности радиусов большего и меньшего оснований, то есть $R - r$.
Угол между образующей (гипотенузой) и плоскостью большего основания (прилежащим катетом $R-r$) равен $\alpha = 60^{\circ}$.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, мы можем записать соотношение:
$\cos(\alpha) = \frac{R - r}{l}$
Из этого уравнения можно выразить искомый радиус $R$:
$R - r = l \cdot \cos(\alpha)$
$R = r + l \cdot \cos(\alpha)$
Теперь подставим известные значения в полученную формулу:
$R = 1 + 2 \cdot \cos(60^{\circ})$
Мы знаем, что значение косинуса $60$ градусов равно $\frac{1}{2}$:
$R = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}$
$R = 1 + 1$
$R = 2$ см

Ответ: радиус большего основания этого усеченного конуса равен 2 см.