Номер 8.17, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.17. Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований (рис. 8.9)?

$a$

$E_1$

$D_1$

$C_1$

$F_1$

$A_1$

$B_1$

$E$

$D$

$C$

$F$

$A$

$B$

Рис. 8.9

Тело, которое получится в результате вращения, является телом вращения. Чтобы определить его форму, рассмотрим осевое сечение исходной фигуры — правильной шестиугольной усеченной пирамиды. Осевое сечение — это сечение плоскостью, проходящей через ось вращения. В данном случае ось вращения — это прямая a, проходящая через центры оснований пирамиды.

Так как пирамида правильная, ее основания — правильные шестиугольники, а ось a перпендикулярна плоскостям оснований. Выберем для сечения плоскость, которая проходит через две противоположные вершины нижнего основания (например, A и D) и соответствующие им противоположные вершины верхнего основания (A₁ и D₁).

В результате такого сечения мы получим равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции будут диагонали AD и A₁D₁ шестиугольников, а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды AA₁ и DD₁. Прямая a будет являться осью симметрии этой трапеции, так как она соединяет середины ее оснований.

Теперь рассмотрим вращение этой равнобокой трапеции вокруг ее оси симметрии a:

• Верхнее и нижнее основания трапеции при вращении образуют два параллельных круга. Радиусы этих кругов равны половинам длин оснований трапеции. Эти круги будут основаниями тела вращения.
• Боковые стороны трапеции при вращении образуют криволинейную боковую поверхность.

Геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными кругами (основаниями) и конической поверхностью, называется усеченным конусом. Именно такое тело и образуется при вращении равнобокой трапеции вокруг ее оси симметрии.

Ответ: усеченный конус.