Страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.9 Объем параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки:

а) $A, B, C, D, B_1$;

б) $A, B, D, C_1$ (рис. 15.5).

Рис. 15.5

Пусть объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $V$. По условию $V = 1$ см³. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. В качестве основания возьмем параллелограмм $ABCD$, тогда $V = S_{ABCD} \cdot h$.

а) Найдем объем многогранника с вершинами в точках $A, B, C, D, B_1$. Этот многогранник является пирамидой, основанием которой служит основание параллелепипеда — параллелограмм $ABCD$, а вершиной — точка $B_1$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_{пир}$. В нашем случае площадь основания пирамиды $S_{осн} = S_{ABCD}$. Высота пирамиды $h_{пир}$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABCD$. Эта высота совпадает с высотой параллелепипеда $h$. Таким образом, объем пирамиды $V_a$ равен: $V_a = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h$ Так как объем параллелепипеда $V = S_{ABCD} \cdot h = 1$ см³, то объем искомого многогранника: $V_a = \frac{1}{3} V = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{1}{3}$ см³.

б) Найдем объем многогранника с вершинами в точках $A, B, D, C_1$. Этот многогранник является тетраэдром (треугольной пирамидой). В качестве основания тетраэдра можно выбрать треугольник $ABD$, тогда вершиной будет точка $C_1$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_{пир}$. Площадь основания этой пирамиды — это площадь треугольника $ABD$. Диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника, поэтому площадь треугольника $ABD$ равна половине площади параллелограмма $ABCD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины $C_1$ на плоскость основания $ABD$ (которая совпадает с плоскостью $ABCD$). Эта высота равна высоте параллелепипеда $h$. Таким образом, объем тетраэдра $V_б$ равен: $V_б = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot h = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} S_{ABCD} \right) \cdot h = \frac{1}{6} S_{ABCD} \cdot h$. Так как объем параллелепипеда $V = S_{ABCD} \cdot h = 1$ см³, то объем искомого многогранника: $V_б = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}$ см³.
Ответ: $\frac{1}{6}$ см³.

15.10. Параллельно основанию пирамиды проведено сечение, делящее высоту пополам. В каком отношении находятся объемы полученных частей пирамиды?

Пусть объем исходной пирамиды равен $V$, ее высота – $H$, а площадь основания – $S_{осн}$. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$.
Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Оставшаяся часть представляет собой усеченную пирамиду.
Обозначим высоту меньшей, отсеченной пирамиды, как $H_{мал}$. По условию, сечение делит высоту исходной пирамиды пополам, значит $H_{мал} = \frac{H}{2}$.
Коэффициент подобия $k$ меньшей пирамиды к исходной равен отношению их высот:
$k = \frac{H_{мал}}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$.
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Обозначим объем меньшей пирамиды как $V_{мал}$. Тогда отношение ее объема к объему исходной пирамиды будет:
$\frac{V_{мал}}{V} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Отсюда объем меньшей пирамиды составляет $V_{мал} = \frac{1}{8}V$.
Объем второй части, усеченной пирамиды ($V_{усеч}$), равен разности объемов исходной и меньшей пирамид:
$V_{усеч} = V - V_{мал} = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V$.
Найдем отношение объемов полученных частей, то есть отношение объема верхней части (меньшей пирамиды) к объему нижней части (усеченной пирамиды):
$\frac{V_{мал}}{V_{усеч}} = \frac{\frac{1}{8}V}{\frac{7}{8}V} = \frac{1}{7}$.
Таким образом, объемы полученных частей пирамиды находятся в отношении 1:7.
Ответ: 1:7.

15.11. Найдите объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 2 см и 1 см, а высота равна 3 см (рис. 15.6).

Рис. 15.6

Для нахождения объема усеченной пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$, где $h$ – высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади ее оснований.

В условии сказано, что пирамида правильная четырехугольная. Это означает, что ее основаниями являются квадраты.Даны следующие параметры:
- сторона большего основания (квадрата) $a_1 = 2$ см;
- сторона меньшего основания (квадрата) $a_2 = 1$ см;
- высота пирамиды $h = 3$ см.

Сначала найдем площади оснований:
Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 2^2 = 4$ см².
Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 1^2 = 1$ см².

Теперь подставим найденные значения в формулу для объема усеченной пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} + S_2) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (4 + \sqrt{4 \cdot 1} + 1)$.

Выполним вычисления:
$V = 1 \cdot (4 + \sqrt{4} + 1) = 4 + 2 + 1 = 7$ см³.

Ответ: 7 см³.

15.12. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1 см.

Объем правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

По условию, пирамида является правильной четырехугольной, что означает, что в ее основании лежит квадрат, а ее вершина проецируется в центр этого квадрата. Диагональным сечением пирамиды (сечением, проходящим через вершину и диагональ основания) является равносторонний треугольник со стороной, равной 1 см.

Пусть диагональ основания (квадрата) будет $d$. Эта диагональ является одной из сторон диагонального сечения. Так как сечение — равносторонний треугольник со стороной 1 см, то и диагональ основания $d = 1$ см.

Теперь найдем площадь основания. Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$.
$S_{осн} = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ см².

Высота пирамиды $H$ совпадает с высотой ее диагонального сечения. Так как диагональное сечение — это равносторонний треугольник со стороной $c = 1$ см, его высоту можно найти по формуле $H = \frac{c\sqrt{3}}{2}$.
$H = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см³.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см³.

15.13. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 1 см. Найдите объем пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида SABC, где S — вершина, а SA, SB, SC — боковые ребра.

По условию задачи, боковые ребра взаимно перпендикулярны, это означает, что $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SC \perp SA$. Также известно, что длина каждого из этих ребер равна 1 см: $SA = SB = SC = 1$ см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В качестве основания пирамиды мы можем выбрать любую из ее граней. Удобнее всего выбрать одну из боковых граней, например, треугольник SAB. Поскольку ребра $SA$ и $SB$ перпендикулярны, треугольник SAB является прямоугольным, а ребра $SA$ и $SB$ — его катетами.

Площадь прямоугольного треугольника SAB равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB$

Подставим длины ребер:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см².

Теперь нужно определить высоту пирамиды относительно основания SAB. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины C на плоскость основания SAB. По условию, ребро $SC$ перпендикулярно ребру $SA$ и ребру $SB$. Так как ребра $SA$ и $SB$ являются пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости SAB, то ребро $SC$ перпендикулярно всей плоскости SAB по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, ребро $SC$ является высотой нашей пирамиды.

Таким образом, высота $h = SC = 1$ см.

Теперь мы можем найти объем пирамиды, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle SAB} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$ см³.

Ответ: $\frac{1}{6}$ см³.

15.14. Найдите объем треугольной пирамиды, если ее боковые ребра равны 1 см, а плоские углы при вершине равны $60^\circ$, $90^\circ$ и $90^\circ$.

Пусть $S$ - вершина пирамиды, а $A, B, C$ - вершины основания. Согласно условию задачи, боковые ребра равны 1 см, то есть $SA = SB = SC = 1$ см. Плоские углы при вершине $S$ равны $60^\circ, 90^\circ$ и $90^\circ$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В качестве основания пирамиды можно выбрать любую из ее граней. Удобно выбрать в качестве основания ту грань, для которой легко определить высоту, проведенную из противоположной вершины.

Пусть плоские углы при вершине $S$ распределены следующим образом: $\angle BSC = 90^\circ$, $\angle CSA = 90^\circ$ и $\angle ASB = 60^\circ$. Условия $\angle BSC = 90^\circ$ и $\angle CSA = 90^\circ$ означают, что боковое ребро $SC$ перпендикулярно двум другим боковым ребрам $SB$ и $SA$. Поскольку $SA$ и $SB$ являются пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости $SAB$, ребро $SC$ перпендикулярно всей плоскости $SAB$.

Таким образом, если мы примем треугольник $SAB$ за основание пирамиды, то его высотой $h$ будет длина ребра $SC$. То есть, $h = SC = 1$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{SAB}$. Площадь треугольника $SAB$ с известными сторонами $SA=1$ см, $SB=1$ см и углом между ними $\angle ASB = 60^\circ$ находится по формуле: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB)$

Подставляем значения: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см².

Наконец, находим объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{SAB} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см³.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{12}$ см³.

15.15. Объем правильной шестиугольной пирамиды $6 \text{ см}^3$. Сторона основания $1 \text{ см}$. Найдите высоту этой пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся формулой объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $V$ — это объем, $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — это высота пирамиды.

По условию, нам дана правильная шестиугольная пирамида. Это значит, что в ее основании лежит правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Нам известно, что сторона основания $a = 1 \text{ см}$. Подставим это значение в формулу площади основания:$S_{осн} = \frac{3 \cdot (1)^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

Теперь у нас есть объем $V = 6 \text{ см}^3$ и площадь основания $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$. Выразим высоту $H$ из формулы объема:$H = \frac{3V}{S_{осн}}$.

Подставим известные значения и вычислим высоту:$H = \frac{3 \cdot 6}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = 18 \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \text{ см}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:$H = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Ответ: $4\sqrt{3} \text{ см}$.

15.16. Объем параллелепипеда равен $1 \text{ см}^3$ (рис. 15.5). Найдите объем тетраэдра $BDA_1C_1$.

Рис. 15.5

Для решения задачи найдем объем тетраэдра $BDA_1C_1$, вычитая из объема всего параллелепипеда объемы четырех "угловых" тетраэдров (пирамид).

Пусть объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $V_{пар}$. По условию, $V_{пар} = 1 \text{ см}^3$. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V_{пар} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.

Объем искомого тетраэдра $BDA_1C_1$ можно найти, если из объема $V_{пар}$ вычесть объемы четырех тетраэдров, которые "отсекаются" от углов параллелепипеда. Эти четыре тетраэдра: $A_1ABD$ (с вершиной $A_1$ и основанием $ABD$), $C_1BCD$ (с вершиной $C_1$ и основанием $BCD$), $BA_1B_1C_1$ (с вершиной $B$ и основанием $A_1B_1C_1$) и $DA_1D_1C_1$ (с вершиной $D$ и основанием $A_1D_1C_1$).

Рассмотрим объем одного из этих тетраэдров, например, $A_1ABD$. Его объем вычисляется по формуле объема пирамиды: $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.

В качестве основания этого тетраэдра возьмем треугольник $ABD$, который лежит в плоскости основания параллелепипеда. Площадь треугольника $ABD$ равна половине площади основания параллелепипеда (параллелограмма $ABCD$): $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Высота тетраэдра $A_1ABD$, опущенная из вершины $A_1$ на основание $ABD$, совпадает с высотой параллелепипеда $H$.

Таким образом, объем тетраэдра $A_1ABD$ равен:

$V_{A_1ABD} = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot H = \frac{1}{6} (S_{ABCD} \cdot H) = \frac{1}{6} V_{пар}$.

Аналогично доказывается, что все четыре "угловых" тетраэдра имеют одинаковый объем, равный $\frac{1}{6} V_{пар}$. Например, для тетраэдра $BA_1B_1C_1$ основанием является треугольник $A_1B_1C_1$ на верхнем основании параллелепипеда ($S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} S_{A_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$), а высота, опущенная из вершины $B$, равна высоте параллелепипеда $H$.

Суммарный объем четырех угловых тетраэдров составляет:

$V_{4 \text{ тетр.}} = 4 \cdot \frac{1}{6} V_{пар} = \frac{4}{6} V_{пар} = \frac{2}{3} V_{пар}$.

Теперь можем найти объем искомого тетраэдра $BDA_1C_1$, вычитая из объема параллелепипеда суммарный объем четырех угловых тетраэдров:

$V_{BDA_1C_1} = V_{пар} - V_{4 \text{ тетр.}} = V_{пар} - \frac{2}{3} V_{пар} = \frac{1}{3} V_{пар}$.

Подставляя известное значение объема параллелепипеда:

$V_{BDA_1C_1} = \frac{1}{3} \cdot 1 \text{ см}^3 = \frac{1}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{1}{3} \text{ см}^3$.

15.17. Плоскость проходит через сторону основания треугольной пирамиды и середину противолежащего бокового ребра (рис. 15.7). В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Рис. 15.7

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$ с основанием $ABC$ и вершиной $S$. По условию задачи, секущая плоскость проходит через сторону основания, например, сторону $BC$, и середину противолежащего бокового ребра $SA$. Обозначим середину ребра $SA$ точкой $D$. Таким образом, секущая плоскость — это плоскость, проходящая через точки $B$, $C$ и $D$.

Эта плоскость $(BCD)$ делит исходную пирамиду $SABC$ на два многогранника: пирамиду $SBCD$ и пирамиду $ABCD$. Нам необходимо найти отношение их объемов.

Обозначим объем исходной пирамиды $SABC$ как $V_{SABC}$.

Рассмотрим пирамиду $SBCD$. Она имеет общую вершину $S$ с исходной пирамидой $SABC$. Удобно использовать формулу для отношения объемов двух пирамид, имеющих общий трехгранный угол.

Пирамиды $SBCD$ и $SABC$ имеют общий трехгранный угол при вершине $S$. Ребра, образующие этот угол, для пирамиды $SABC$ — это $SA$, $SB$, $SC$, а для пирамиды $SBCD$ — это $SD$, $SB$, $SC$.

Отношение объемов таких пирамид равно произведению отношений длин соответствующих ребер, выходящих из общей вершины:

$ \frac{V_{SBCD}}{V_{SABC}} = \frac{SD}{SA} \cdot \frac{SB}{SB} \cdot \frac{SC}{SC} $

По условию, точка $D$ — середина ребра $SA$, следовательно, $SD = \frac{1}{2} SA$, или $\frac{SD}{SA} = \frac{1}{2}$. Отношения для других ребер равны единице, так как они являются общими: $\frac{SB}{SB} = 1$ и $\frac{SC}{SC} = 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$ \frac{V_{SBCD}}{V_{SABC}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} $

Таким образом, объем пирамиды $SBCD$ равен половине объема исходной пирамиды $SABC$:

$ V_{SBCD} = \frac{1}{2} V_{SABC} $

Объем второй части, пирамиды $ABCD$, можно найти как разность объемов исходной пирамиды и пирамиды $SBCD$:

$ V_{ABCD} = V_{SABC} - V_{SBCD} = V_{SABC} - \frac{1}{2} V_{SABC} = \frac{1}{2} V_{SABC} $

Следовательно, объемы двух частей, на которые секущая плоскость делит исходную пирамиду, равны. Найдем их отношение:

$ \frac{V_{SBCD}}{V_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} V_{SABC}}{\frac{1}{2} V_{SABC}} = \frac{1}{1} $

Таким образом, плоскость делит объем пирамиды в отношении 1:1.

Ответ: 1:1.

15.18. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды, отсекаемой от нее плоскостью, проходящей через диагональ $AC$ основания и середину $E$ противоположного бокового ребра (рис. 15.8).

Рис. 15.8

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$ и вершиной $S$. Объем этой пирамиды $V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для пирамиды $SABCD$ ее объем равен $V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SO$, где $SO$ — высота пирамиды.

Секущая плоскость проходит через диагональ основания $AC$ и середину $E$ противолежащего бокового ребра. В соответствии с рисунком, точка $E$ является серединой бокового ребра $SB$. Пирамида, отсекаемая от исходной, — это пирамида $EABC$. Найдем ее объем $V_{EABC}$.

Разобьем исходную пирамиду $SABCD$ диагональной плоскостью $SAC$ на две равновеликие пирамиды: $SABC$ и $SADC$. Они имеют общую высоту $SO$ и равные по площади основания (треугольники $ABC$ и $ADC$), так как диагональ делит квадрат $ABCD$ на два равных треугольника.

Объем пирамиды $SABC$ составляет половину объема исходной пирамиды:

$V_{SABC} = \frac{1}{2} V_{SABCD} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ см}^3$.

Пирамиды $EABC$ и $SABC$ имеют общее основание — треугольник $ABC$. Следовательно, их объемы относятся как их высоты, проведенные к этому основанию.

$V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E$

$V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H$

где $H = SO$ — высота пирамиды $SABC$ (и всей пирамиды $SABCD$), а $h_E$ — высота пирамиды $EABC$, опущенная из вершины $E$ на плоскость основания $ABC$.

Найдем соотношение высот $h_E$ и $H$. Пусть $K$ — проекция точки $E$ на плоскость основания $ABCD$. Тогда $h_E = EK$. Так как $SO \perp (ABC)$ и $EK \perp (ABC)$, то прямые $SO$ и $EK$ параллельны.

Рассмотрим треугольник $SBO$. Точка $E$ — середина стороны $SB$ по условию. Прямая $EK$ параллельна $SO$. Из подобия треугольников $\triangle EBK$ и $\triangle SBO$ (по двум углам) следует, что коэффициент подобия равен $\frac{BE}{BS} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, отношение их высот (в данном случае, отрезков $EK$ и $SO$) также равно коэффициенту подобия:

$\frac{EK}{SO} = \frac{h_E}{H} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, высота пирамиды $EABC$ в два раза меньше высоты пирамиды $SABC$.

Теперь найдем объем искомой пирамиды, используя отношение объемов:

$\frac{V_{EABC}}{V_{SABC}} = \frac{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E}{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H} = \frac{h_E}{H} = \frac{1}{2}$.

Отсюда, $V_{EABC} = \frac{1}{2} V_{SABC}$.

Подставляя значение $V_{SABC}$, получаем:

$V_{EABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.