Номер 15.18, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.18. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды, отсекаемой от нее плоскостью, проходящей через диагональ $AC$ основания и середину $E$ противоположного бокового ребра (рис. 15.8).

Рис. 15.8

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$ и вершиной $S$. Объем этой пирамиды $V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для пирамиды $SABCD$ ее объем равен $V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SO$, где $SO$ — высота пирамиды.

Секущая плоскость проходит через диагональ основания $AC$ и середину $E$ противолежащего бокового ребра. В соответствии с рисунком, точка $E$ является серединой бокового ребра $SB$. Пирамида, отсекаемая от исходной, — это пирамида $EABC$. Найдем ее объем $V_{EABC}$.

Разобьем исходную пирамиду $SABCD$ диагональной плоскостью $SAC$ на две равновеликие пирамиды: $SABC$ и $SADC$. Они имеют общую высоту $SO$ и равные по площади основания (треугольники $ABC$ и $ADC$), так как диагональ делит квадрат $ABCD$ на два равных треугольника.

Объем пирамиды $SABC$ составляет половину объема исходной пирамиды:

$V_{SABC} = \frac{1}{2} V_{SABCD} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ см}^3$.

Пирамиды $EABC$ и $SABC$ имеют общее основание — треугольник $ABC$. Следовательно, их объемы относятся как их высоты, проведенные к этому основанию.

$V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E$

$V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H$

где $H = SO$ — высота пирамиды $SABC$ (и всей пирамиды $SABCD$), а $h_E$ — высота пирамиды $EABC$, опущенная из вершины $E$ на плоскость основания $ABC$.

Найдем соотношение высот $h_E$ и $H$. Пусть $K$ — проекция точки $E$ на плоскость основания $ABCD$. Тогда $h_E = EK$. Так как $SO \perp (ABC)$ и $EK \perp (ABC)$, то прямые $SO$ и $EK$ параллельны.

Рассмотрим треугольник $SBO$. Точка $E$ — середина стороны $SB$ по условию. Прямая $EK$ параллельна $SO$. Из подобия треугольников $\triangle EBK$ и $\triangle SBO$ (по двум углам) следует, что коэффициент подобия равен $\frac{BE}{BS} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, отношение их высот (в данном случае, отрезков $EK$ и $SO$) также равно коэффициенту подобия:

$\frac{EK}{SO} = \frac{h_E}{H} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, высота пирамиды $EABC$ в два раза меньше высоты пирамиды $SABC$.

Теперь найдем объем искомой пирамиды, используя отношение объемов:

$\frac{V_{EABC}}{V_{SABC}} = \frac{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E}{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H} = \frac{h_E}{H} = \frac{1}{2}$.

Отсюда, $V_{EABC} = \frac{1}{2} V_{SABC}$.

Подставляя значение $V_{SABC}$, получаем:

$V_{EABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.