Номер 15.25, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.25. Объем тетраэдра равен 1 $см^3$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер этого тетраэдра.

15.26. Одно из самых грандиозных сооружений древности - пирамида

Пусть исходный тетраэдр обозначается как $T$, а его объем $V_T$. По условию задачи, $V_T = 1$ см³. Вершины этого тетраэдра обозначим как $A$, $B$, $C$ и $D$.

Новый многогранник, назовем его $P$, имеет своими вершинами середины ребер тетраэдра $T$. Тетраэдр имеет 6 ребер, следовательно, многогранник $P$ имеет 6 вершин. Этот многогранник является октаэдром.

Объем октаэдра $P$ можно найти, вычтя из объема исходного тетраэдра $T$ объемы четырех малых тетраэдров, которые "отсекаются" в вершинах большого тетраэдра.

Рассмотрим один из таких малых тетраэдров, например, у вершины $A$. Его вершинами являются точка $A$ и середины ребер, выходящих из нее: $M_{AB}$, $M_{AC}$ и $M_{AD}$. Обозначим этот малый тетраэдр как $T_A$.

Ребра тетраэдра $T_A$, выходящие из вершины $A$, равны отрезкам $AM_{AB}$, $AM_{AC}$ и $AM_{AD}$. Так как $M_{AB}$, $M_{AC}$, $M_{AD}$ — середины ребер $AB$, $AC$, $AD$ соответственно, то длины этих ребер равны половине длин соответствующих ребер исходного тетраэдра:

$|AM_{AB}| = \frac{1}{2}|AB|$, $|AM_{AC}| = \frac{1}{2}|AC|$, $|AM_{AD}| = \frac{1}{2}|AD|$.

Таким образом, малый тетраэдр $T_A$ подобен исходному тетраэдру $T$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Следовательно, объем малого тетраэдра $V_{T_A}$ связан с объемом исходного тетраэдра $V_T$ следующим соотношением:

$V_{T_A} = k^3 \cdot V_T = (\frac{1}{2})^3 \cdot V_T = \frac{1}{8}V_T$.

Таких малых тетраэдров четыре, по одному у каждой вершины ($A$, $B$, $C$, $D$) исходного тетраэдра. Все они имеют одинаковый объем, равный $\frac{1}{8}V_T$. Суммарный объем, отсекаемый от исходного тетраэдра, равен:

$V_{отсекаемый} = 4 \cdot V_{T_A} = 4 \cdot \frac{1}{8}V_T = \frac{1}{2}V_T$.

Объем искомого многогранника (октаэдра) $V_P$ равен объему исходного тетраэдра за вычетом суммарного объема четырех отсеченных тетраэдров:

$V_P = V_T - V_{отсекаемый} = V_T - \frac{1}{2}V_T = \frac{1}{2}V_T$.

Подставляя заданное значение $V_T = 1$ см³, получаем:

$V_P = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0,5 \text{ см}^3$.

Ответ: $0,5 \text{ см}^3$.