Номер 15.22, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.22. Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных $n$-угольных пирамид, при которых эти пирамиды подобны. Как относятся объемы этих пирамид?

Условие подобия правильных n-угольных пирамид

Рассмотрим две правильные n-угольные пирамиды. Пусть сторона основания и боковое ребро первой пирамиды равны $a_1$ и $b_1$ соответственно, а второй — $a_2$ и $b_2$.

Два многогранника называются подобными, если один может быть получен из другого преобразованием подобия. Это означает, что все их соответствующие линейные размеры (стороны, ребра, высоты, апофемы и т.д.) пропорциональны, а соответствующие углы (двугранные, плоские) равны. Коэффициент пропорциональности линейных размеров называется коэффициентом подобия.

Основаниями данных пирамид являются правильные n-угольники. Любые два правильных n-угольника подобны. Коэффициент подобия их оснований равен отношению длин их сторон, то есть $a_1 / a_2$.

Боковые грани правильной пирамиды — это конгруэнтные (равные) равнобедренные треугольники. Для того чтобы две пирамиды были подобны, необходимо, чтобы их соответствующие боковые грани были подобными треугольниками. Боковая грань первой пирамиды имеет стороны $b_1, b_1, a_1$. Боковая грань второй пирамиды имеет стороны $b_2, b_2, a_2$. Условие подобия этих треугольников заключается в пропорциональности их соответствующих сторон:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$

Это условие является не только необходимым, но и достаточным. Если отношение стороны основания к боковому ребру одинаково для обеих пирамид (т.е. $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$), то все соответствующие плоские и двугранные углы у этих пирамид будут равны, а все соответствующие линейные элементы будут пропорциональны с коэффициентом $k = a_1/a_2 = b_1/b_2$. Следовательно, пирамиды будут подобны.

Ответ: Две правильные n-угольные пирамиды подобны тогда и только тогда, когда отношение их сторон основания равно отношению их боковых ребер. Если $a_1, b_1$ — сторона основания и боковое ребро первой пирамиды, а $a_2, b_2$ — соответствующие элементы второй пирамиды, то условие подобия имеет вид $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, что эквивалентно условию $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$.

Отношение объемов подобных правильных n-угольных пирамид

Согласно общей теореме о подобии тел, отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Пусть коэффициент подобия двух правильных n-угольных пирамид равен $k$. Как мы установили выше, $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Найдем отношение объемов $V_1$ и $V_2$ двух подобных пирамид:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}S_1 h_1}{\frac{1}{3}S_2 h_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{h_1}{h_2}$

Поскольку основания являются подобными фигурами с коэффициентом подобия $k$, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$.

Высоты пирамид, как соответствующие линейные элементы, также относятся как коэффициент подобия: $\frac{h_1}{h_2} = k$.

Подставляя эти отношения в формулу для отношения объемов, получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3$

Таким образом, отношение объемов двух подобных правильных n-угольных пирамид равно кубу отношения их соответствующих сторон оснований или кубу отношения их боковых ребер.

Ответ: Отношение объемов двух подобных правильных n-угольных пирамид равно кубу коэффициента подобия. Если $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований, а $b_1$ и $b_2$ — боковые ребра пирамид, то отношение их объемов $V_1$ и $V_2$ равно $\frac{V_1}{V_2} = (\frac{a_1}{a_2})^3 = (\frac{b_1}{b_2})^3$.