Номер 15.17, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.17. Плоскость проходит через сторону основания треугольной пирамиды и середину противолежащего бокового ребра (рис. 15.7). В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Рис. 15.7

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$ с основанием $ABC$ и вершиной $S$. По условию задачи, секущая плоскость проходит через сторону основания, например, сторону $BC$, и середину противолежащего бокового ребра $SA$. Обозначим середину ребра $SA$ точкой $D$. Таким образом, секущая плоскость — это плоскость, проходящая через точки $B$, $C$ и $D$.

Эта плоскость $(BCD)$ делит исходную пирамиду $SABC$ на два многогранника: пирамиду $SBCD$ и пирамиду $ABCD$. Нам необходимо найти отношение их объемов.

Обозначим объем исходной пирамиды $SABC$ как $V_{SABC}$.

Рассмотрим пирамиду $SBCD$. Она имеет общую вершину $S$ с исходной пирамидой $SABC$. Удобно использовать формулу для отношения объемов двух пирамид, имеющих общий трехгранный угол.

Пирамиды $SBCD$ и $SABC$ имеют общий трехгранный угол при вершине $S$. Ребра, образующие этот угол, для пирамиды $SABC$ — это $SA$, $SB$, $SC$, а для пирамиды $SBCD$ — это $SD$, $SB$, $SC$.

Отношение объемов таких пирамид равно произведению отношений длин соответствующих ребер, выходящих из общей вершины:

$ \frac{V_{SBCD}}{V_{SABC}} = \frac{SD}{SA} \cdot \frac{SB}{SB} \cdot \frac{SC}{SC} $

По условию, точка $D$ — середина ребра $SA$, следовательно, $SD = \frac{1}{2} SA$, или $\frac{SD}{SA} = \frac{1}{2}$. Отношения для других ребер равны единице, так как они являются общими: $\frac{SB}{SB} = 1$ и $\frac{SC}{SC} = 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$ \frac{V_{SBCD}}{V_{SABC}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} $

Таким образом, объем пирамиды $SBCD$ равен половине объема исходной пирамиды $SABC$:

$ V_{SBCD} = \frac{1}{2} V_{SABC} $

Объем второй части, пирамиды $ABCD$, можно найти как разность объемов исходной пирамиды и пирамиды $SBCD$:

$ V_{ABCD} = V_{SABC} - V_{SBCD} = V_{SABC} - \frac{1}{2} V_{SABC} = \frac{1}{2} V_{SABC} $

Следовательно, объемы двух частей, на которые секущая плоскость делит исходную пирамиду, равны. Найдем их отношение:

$ \frac{V_{SBCD}}{V_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} V_{SABC}}{\frac{1}{2} V_{SABC}} = \frac{1}{1} $

Таким образом, плоскость делит объем пирамиды в отношении 1:1.

Ответ: 1:1.