Номер 15.13, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.13. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 1 см. Найдите объем пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида SABC, где S — вершина, а SA, SB, SC — боковые ребра.

По условию задачи, боковые ребра взаимно перпендикулярны, это означает, что $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SC \perp SA$. Также известно, что длина каждого из этих ребер равна 1 см: $SA = SB = SC = 1$ см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В качестве основания пирамиды мы можем выбрать любую из ее граней. Удобнее всего выбрать одну из боковых граней, например, треугольник SAB. Поскольку ребра $SA$ и $SB$ перпендикулярны, треугольник SAB является прямоугольным, а ребра $SA$ и $SB$ — его катетами.

Площадь прямоугольного треугольника SAB равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB$

Подставим длины ребер:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см².

Теперь нужно определить высоту пирамиды относительно основания SAB. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины C на плоскость основания SAB. По условию, ребро $SC$ перпендикулярно ребру $SA$ и ребру $SB$. Так как ребра $SA$ и $SB$ являются пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости SAB, то ребро $SC$ перпендикулярно всей плоскости SAB по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, ребро $SC$ является высотой нашей пирамиды.

Таким образом, высота $h = SC = 1$ см.

Теперь мы можем найти объем пирамиды, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle SAB} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$ см³.

Ответ: $\frac{1}{6}$ см³.