Номер 15.6, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.6. Найдите объем тетраэдра с ребром, равным 1 см.

15.7. Ре...

15.6. Для нахождения объема тетраэдра с ребром, равным 1 см, будем считать, что речь идет о правильном тетраэдре, то есть о трехмерной фигуре, у которой все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Длина каждого ребра $a$ составляет 1 см.

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием правильного тетраэдра является равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

2. Найдем высоту тетраэдра.

Высота $h$ правильного тетраэдра опускается из его вершины в центр основания. Центр равностороннего треугольника (точка пересечения медиан, высот и биссектрис) делит его высоту (медиану) в отношении 2:1, считая от вершины. Найдем расстояние $R$ от вершины основания до его центра. Это расстояние является радиусом описанной около основания окружности.

Для равностороннего треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Высота тетраэдра $h$, боковое ребро $a$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$h^2 + R^2 = a^2$

Отсюда выразим высоту:

$h^2 = a^2 - R^2 = a^2 - (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{3a^2 - a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Вычислим объем тетраэдра.

Теперь подставим найденные значения $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{9 \cdot 2}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

Это общая формула для объема правильного тетраэдра. Подставим в нее длину ребра $a = 1$ см:

$V = \frac{1^3 \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{12}$ см$^3$.