Задания, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выведите формулу объема усеченной правильной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны $a$ и $b$, а высота равна $h$.

Объем усеченной правильной четырехугольной пирамиды можно определить как разность объемов двух полных пирамид: большой (исходной) и малой (той, что была отсечена от вершины).

Пусть $a$ — сторона большего (нижнего) основания, а $b$ — сторона меньшего (верхнего) основания. Высота самой усеченной пирамиды равна $h$.

Площадь нижнего основания $S_1 = a^2$.

Площадь верхнего основания $S_2 = b^2$.

Достроим усеченную пирамиду до полной. Пусть высота полной пирамиды равна $H$, а высота отсеченной малой пирамиды — $x$. Тогда высота полной пирамиды будет $H = h + x$.

Объем усеченной пирамиды $V$ равен разности объемов полной пирамиды $V_1$ и малой отсеченной пирамиды $V_2$:

$V = V_1 - V_2 = \frac{1}{3}S_1 H - \frac{1}{3}S_2 x = \frac{1}{3}a^2(h+x) - \frac{1}{3}b^2x$

В этой формуле присутствует неизвестная величина $x$. Чтобы найти ее, воспользуемся подобием. Малая (отсеченная) пирамида подобна большой (полной) пирамиде. Отношение их линейных размеров (высот, сторон оснований) равно коэффициенту подобия. Рассмотрим осевое сечение пирамид. Оно представляет собой два подобных равнобедренных треугольника.

Из подобия треугольников следует отношение:

$\frac{x}{H} = \frac{b}{a}$

Подставим $H = h + x$ в это соотношение:

$\frac{x}{h+x} = \frac{b}{a}$

Теперь решим это уравнение, чтобы выразить $x$ через $a$, $b$ и $h$:

$ax = b(h+x)$

$ax = bh + bx$

$ax - bx = bh$

$x(a-b) = bh$

$x = \frac{bh}{a-b}$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}(a^2(h+x) - b^2x) = \frac{1}{3}(a^2h + a^2x - b^2x) = \frac{1}{3}(a^2h + x(a^2 - b^2))$

$V = \frac{1}{3}(a^2h + \frac{bh}{a-b}(a^2 - b^2))$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$V = \frac{1}{3}(a^2h + \frac{bh}{a-b}(a-b)(a+b))$

Сократим $(a-b)$:

$V = \frac{1}{3}(a^2h + bh(a+b))$

Раскроем скобки и вынесем общий множитель $h$:

$V = \frac{1}{3}(a^2h + abh + b^2h)$

$V = \frac{1}{3}h(a^2 + ab + b^2)$

Это и есть искомая формула объема усеченной правильной четырехугольной пирамиды.

Ответ: $V = \frac{1}{3}h(a^2 + ab + b^2)$