Номер 14.16, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.16 Многоугольник, изображенный на рисунке 14.3, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой $a$, содержащей сторону, равную $2$ см. Найдите объем тела вращения.

$a$ $A$ $1$ $B$ $1$ $C$ $1$ $D$ $1$ $2$ $F$ $E$ $2$

Рис. 14.3

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся методом разложения. Мы можем разбить исходный многоугольник на более простые фигуры (в данном случае — на прямоугольники), найти объемы тел вращения для каждой из этих фигур и затем сложить их.

Проведем мысленно вертикальный отрезок, соединяющий точки B и C и продолженный вниз до пересечения с отрезком FE. Пусть точка пересечения с FE будет G. Так как все углы многоугольника прямые, то отрезок CG перпендикулярен FE.

Это разбиение делит исходный многоугольник ABCDEF на два прямоугольника:

1. Левый прямоугольник ABGF со сторонами $AF = 2$ см и $AB = 1$ см.
2. Правый прямоугольник CGED со сторонами $CG = BC + DE = 1+1 =...$ Нет, $CG = BC = 1$ см. А $DE=1$ см. Сторона $CG$ равна $BC=1$ см. Сторона $CD = 1$ см.

Давайте опишем разбиение точнее. Проведем вертикальную линию через точки B и C. Эта линия разделит многоугольник на две части:

1. Левый прямоугольник: Его вершины — это A, B, и точки на оси a и отрезке FE. Назовем его прямоугольник $P_1$. Он имеет высоту $AF=2$ см и ширину $AB=1$ см. Этот прямоугольник примыкает к оси вращения a.
2. Правый прямоугольник: Его вершины — C, D, E и точка на линии BC. Назовем его прямоугольник $P_2$. Он имеет высоту $DE=1$ см и ширину $CD=1$ см. Этот прямоугольник отстоит от оси вращения на расстояние, равное $AB=1$ см.

Теперь найдем объемы тел, образующихся при вращении этих двух прямоугольников вокруг прямой a.

1. Вращение левого прямоугольника ($P_1$)

При вращении прямоугольника $P_1$ с высотой $h_1 = AF = 2$ см и шириной $R_1 = AB = 1$ см вокруг прямой a образуется сплошной цилиндр.

Объем этого цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$:

$V_1 = \pi \cdot R_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi$ см$^3$.

2. Вращение правого прямоугольника ($P_2$)

При вращении прямоугольника $P_2$ с высотой $h_2 = DE = 1$ см и шириной $CD = 1$ см образуется тело, представляющее собой полый цилиндр (трубу или кольцо), так как этот прямоугольник не примыкает к оси вращения.

Объем этого тела можно найти как разность объемов двух цилиндров: внешнего и внутреннего.

• Внешний радиус $R_{внешн}$ равен расстоянию от оси a до дальней стороны прямоугольника (вершины D и E). $R_{внешн} = AB + CD = 1 + 1 = 2$ см.
• Внутренний радиус $R_{внутр}$ равен расстоянию от оси a до ближней стороны прямоугольника (вершины C). $R_{внутр} = AB = 1$ см.

Высота этого полого цилиндра $h_2 = DE = 1$ см.

Объем $V_2$ вычисляется по формуле $V = \pi (R_{внешн}^2 - R_{внутр}^2) h$:

$V_2 = \pi \cdot (2^2 - 1^2) \cdot 1 = \pi \cdot (4 - 1) \cdot 1 = 3\pi$ см$^3$.

3. Общий объем тела вращения

Общий объем $V$ тела вращения равен сумме объемов, полученных от вращения двух прямоугольников:

$V = V_1 + V_2 = 2\pi + 3\pi = 5\pi$ см$^3$.

Ответ: $5\pi$ см$^3$.