Номер 14.12, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.12. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в два раза больше первого?

Пусть $V_1$ и $h_1$ — объем жидкости и ее уровень в первом цилиндрическом сосуде, а $V_2$ и $h_2$ — объем и уровень жидкости во втором сосуде. Так как жидкость переливают из первого сосуда во второй, ее объем остается неизменным, то есть $V_1 = V_2$.

Объем жидкости в цилиндре равен произведению площади его основания на высоту уровня жидкости: $V = S \cdot h$.

Для наших сосудов это можно записать как:$S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$,где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований первого и второго сосудов соответственно.

Основание цилиндра — это круг, площадь которого вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус. Радиус связан с диаметром $d$ соотношением $r = d/2$. Тогда площадь основания можно выразить через диаметр: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

По условию задачи, диаметр второго сосуда в два раза больше диаметра первого: $d_2 = 2d_1$.

Найдем, как соотносятся площади оснований.$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi d_2^2}{4}}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$.

Подставим соотношение диаметров $d_2 = 2d_1$:$\frac{S_2}{S_1} = \frac{(2d_1)^2}{d_1^2} = \frac{4d_1^2}{d_1^2} = 4$.

Таким образом, площадь основания второго сосуда в 4 раза больше площади основания первого: $S_2 = 4S_1$.

Теперь найдем высоту уровня жидкости во втором сосуде $h_2$ из равенства объемов:$h_2 = \frac{S_1 \cdot h_1}{S_2}$.

Подставим в эту формулу $S_2 = 4S_1$ и известное значение $h_1 = 16$ см:$h_2 = \frac{S_1 \cdot h_1}{4S_1} = \frac{h_1}{4} = \frac{16}{4} = 4$ см.

Ответ: 4 см.