Номер 14.9, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.9. Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму?

Для решения задачи рассмотрим правильную четырехугольную призму. В основании такой призмы лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна a, а высота призмы равна h. Оба цилиндра, вписанный и описанный, будут иметь ту же высоту h.

1. Объем цилиндра, описанного около призмы ($V_{опис}$).
Основание описанного цилиндра – это круг, описанный около квадрата в основании призмы. Радиус такого круга (R) равен половине диагонали квадрата.
Диагональ квадрата со стороной a равна $d = a\sqrt{2}$.
Следовательно, радиус описанного круга: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Объем описанного цилиндра находим по формуле $V = \pi R^2 h$:
$V_{опис} = \pi \cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 \cdot h = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{4} \cdot h = \frac{\pi a^2 h}{2}$.

2. Объем цилиндра, вписанного в призму ($V_{впис}$).
Основание вписанного цилиндра – это круг, вписанный в квадрат в основании призмы. Радиус такого круга (r) равен половине стороны квадрата.
Следовательно, радиус вписанного круга: $r = \frac{a}{2}$.
Объем вписанного цилиндра находим по формуле $V = \pi r^2 h$:
$V_{впис} = \pi \cdot (\frac{a}{2})^2 \cdot h = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot h = \frac{\pi a^2 h}{4}$.

3. Нахождение отношения объемов.
Чтобы определить, во сколько раз объем описанного цилиндра больше объема вписанного, найдем их отношение:
$\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{2}}{\frac{\pi a^2 h}{4}} = \frac{\pi a^2 h}{2} \cdot \frac{4}{\pi a^2 h} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: в 2 раза.