Номер 14.15, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.15. Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух цилиндров, при которых эти цилиндры подобны. Как относятся объемы этих цилиндров?

Условия подобия цилиндров:

Цилиндры с радиусами оснований $R_1, R_2$ и образующими (высотами) $H_1, H_2$ подобны, если: $\$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{H_1}{H_2}$$

Отношение объемов цилиндров:

Объемы $V_1, V_2$ подобных цилиндров относятся как куб отношения их соответствующих линейных размеров: $\$$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \left(\frac{H_1}{H_2}\right)^3$$

Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух цилиндров, при которых эти цилиндры подобны

Два тела в пространстве называются подобными, если одно можно получить из другого преобразованием подобия. Для цилиндров, как и для других геометрических тел, это означает, что все их соответствующие линейные размеры пропорциональны.

Прямой круговой цилиндр определяется двумя линейными размерами: радиусом основания $r$ и высотой $h$, которая равна длине образующей.

Рассмотрим два цилиндра:

• Первый цилиндр с радиусом основания $r_1$ и образующей $h_1$.
• Второй цилиндр с радиусом основания $r_2$ и образующей $h_2$.

Эти два цилиндра будут подобны, если отношение их радиусов равно отношению их образующих (высот). Это общее отношение является коэффициентом подобия $k$:
$ \frac{r_1}{r_2} = \frac{h_1}{h_2} = k $

Это условие можно переписать в эквивалентной форме, которая гласит, что для подобных цилиндров отношение радиуса основания к образующей является постоянной величиной:
$ \frac{r_1}{h_1} = \frac{r_2}{h_2} $

Ответ: Два цилиндра подобны, если отношение радиуса основания к образующей одного цилиндра равно отношению радиуса основания к образующей другого цилиндра.

Как относятся объемы этих цилиндров?

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота (образующая).

Найдем объемы для двух наших подобных цилиндров:
$ V_1 = \pi r_1^2 h_1 $
$ V_2 = \pi r_2^2 h_2 $

Найдем отношение их объемов:
$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \left(\frac{h_1}{h_2}\right) $

Из условия подобия мы знаем, что $ \frac{r_1}{r_2} = \frac{h_1}{h_2} = k $, где $k$ – коэффициент подобия. Подставим это значение в формулу для отношения объемов:
$ \frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3 $

Таким образом, отношение объемов двух подобных цилиндров равно кубу коэффициента подобия.

Ответ: Отношение объемов двух подобных цилиндров равно кубу отношения их соответствующих линейных размеров (например, кубу отношения радиусов их оснований или кубу отношения их образующих).