Номер 14.21, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.21. Повторите определения пирамиды и усеченной пирамиды.

Пирамида

Пирамида — это многогранник, одна из граней которого, называемая основанием, является произвольным многоугольником, а остальные грани, называемые боковыми гранями, — это треугольники, имеющие общую вершину. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды. Рёбра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. Высотой пирамиды ($h$) называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой ($l$).

Основные формулы для пирамиды:
Объём: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Ответ: Пирамида — это многогранник, состоящий из многоугольника (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.

Усеченная пирамида

Усечённая пирамида — это часть полной пирамиды, заключённая между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Усечённая пирамида имеет два основания: нижнее основание (основание исходной пирамиды) и верхнее основание (многоугольник, полученный в сечении). Основания усечённой пирамиды — подобные многоугольники. Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции. Высотой усечённой пирамиды ($h$) называется расстояние между плоскостями её оснований.

Усечённая пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. У правильной усечённой пирамиды основаниями являются правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобочные трапеции. Высота боковой грани (трапеции) правильной усечённой пирамиды называется её апофемой ($l$).

Основные формулы для усечённой пирамиды:
Объём: $V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $S_1$ и $S_2$ — площади нижнего и верхнего оснований.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$.

Ответ: Усечённая пирамида — это многогранник, гранями которого являются два многоугольника (основания), лежащие в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников (боковые грани), где n — число сторон оснований.