Номер 15.14, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.14. Найдите объем треугольной пирамиды, если ее боковые ребра равны 1 см, а плоские углы при вершине равны $60^\circ$, $90^\circ$ и $90^\circ$.

Пусть $S$ - вершина пирамиды, а $A, B, C$ - вершины основания. Согласно условию задачи, боковые ребра равны 1 см, то есть $SA = SB = SC = 1$ см. Плоские углы при вершине $S$ равны $60^\circ, 90^\circ$ и $90^\circ$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В качестве основания пирамиды можно выбрать любую из ее граней. Удобно выбрать в качестве основания ту грань, для которой легко определить высоту, проведенную из противоположной вершины.

Пусть плоские углы при вершине $S$ распределены следующим образом: $\angle BSC = 90^\circ$, $\angle CSA = 90^\circ$ и $\angle ASB = 60^\circ$. Условия $\angle BSC = 90^\circ$ и $\angle CSA = 90^\circ$ означают, что боковое ребро $SC$ перпендикулярно двум другим боковым ребрам $SB$ и $SA$. Поскольку $SA$ и $SB$ являются пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости $SAB$, ребро $SC$ перпендикулярно всей плоскости $SAB$.

Таким образом, если мы примем треугольник $SAB$ за основание пирамиды, то его высотой $h$ будет длина ребра $SC$. То есть, $h = SC = 1$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{SAB}$. Площадь треугольника $SAB$ с известными сторонами $SA=1$ см, $SB=1$ см и углом между ними $\angle ASB = 60^\circ$ находится по формуле: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB)$

Подставляем значения: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см².

Наконец, находим объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{SAB} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см³.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{12}$ см³.