Страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.25. Объем тетраэдра равен 1 $см^3$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер этого тетраэдра.

15.26. Одно из самых грандиозных сооружений древности - пирамида

Пусть исходный тетраэдр обозначается как $T$, а его объем $V_T$. По условию задачи, $V_T = 1$ см³. Вершины этого тетраэдра обозначим как $A$, $B$, $C$ и $D$.

Новый многогранник, назовем его $P$, имеет своими вершинами середины ребер тетраэдра $T$. Тетраэдр имеет 6 ребер, следовательно, многогранник $P$ имеет 6 вершин. Этот многогранник является октаэдром.

Объем октаэдра $P$ можно найти, вычтя из объема исходного тетраэдра $T$ объемы четырех малых тетраэдров, которые "отсекаются" в вершинах большого тетраэдра.

Рассмотрим один из таких малых тетраэдров, например, у вершины $A$. Его вершинами являются точка $A$ и середины ребер, выходящих из нее: $M_{AB}$, $M_{AC}$ и $M_{AD}$. Обозначим этот малый тетраэдр как $T_A$.

Ребра тетраэдра $T_A$, выходящие из вершины $A$, равны отрезкам $AM_{AB}$, $AM_{AC}$ и $AM_{AD}$. Так как $M_{AB}$, $M_{AC}$, $M_{AD}$ — середины ребер $AB$, $AC$, $AD$ соответственно, то длины этих ребер равны половине длин соответствующих ребер исходного тетраэдра:

$|AM_{AB}| = \frac{1}{2}|AB|$, $|AM_{AC}| = \frac{1}{2}|AC|$, $|AM_{AD}| = \frac{1}{2}|AD|$.

Таким образом, малый тетраэдр $T_A$ подобен исходному тетраэдру $T$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Следовательно, объем малого тетраэдра $V_{T_A}$ связан с объемом исходного тетраэдра $V_T$ следующим соотношением:

$V_{T_A} = k^3 \cdot V_T = (\frac{1}{2})^3 \cdot V_T = \frac{1}{8}V_T$.

Таких малых тетраэдров четыре, по одному у каждой вершины ($A$, $B$, $C$, $D$) исходного тетраэдра. Все они имеют одинаковый объем, равный $\frac{1}{8}V_T$. Суммарный объем, отсекаемый от исходного тетраэдра, равен:

$V_{отсекаемый} = 4 \cdot V_{T_A} = 4 \cdot \frac{1}{8}V_T = \frac{1}{2}V_T$.

Объем искомого многогранника (октаэдра) $V_P$ равен объему исходного тетраэдра за вычетом суммарного объема четырех отсеченных тетраэдров:

$V_P = V_T - V_{отсекаемый} = V_T - \frac{1}{2}V_T = \frac{1}{2}V_T$.

Подставляя заданное значение $V_T = 1$ см³, получаем:

$V_P = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0,5 \text{ см}^3$.

Ответ: $0,5 \text{ см}^3$.

15.26 Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса (рис. 15.13) – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 146 м и боковым ребром 230 м. Найдите объем этой пирамиды.

Рис. 15.13

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $V$ — объем пирамиды, $S_{осн}$ — площадь основания, $H$ — высота пирамиды.

По условию задачи нам известны высота пирамиды $H = 146$ м и длина бокового ребра $L = 230$ м. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат.

Для вычисления объема нам необходимо найти площадь основания $S_{осн}$. Пусть сторона квадрата, лежащего в основании, равна $a$, тогда $S_{осн} = a^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $L$ и половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$. В этом треугольнике боковое ребро $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$

Отсюда можем найти квадрат половины диагонали:

$(\frac{d}{2})^2 = L^2 - H^2$

Подставим известные значения:

$(\frac{d}{2})^2 = 230^2 - 146^2 = 52900 - 21316 = 31584 \text{ м}^2$

Диагональ $d$ квадрата со стороной $a$ связана соотношением $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(\frac{d}{2})^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Мы нашли, что $(\frac{d}{2})^2 = 31584$, значит:

$\frac{a^2}{2} = 31584$

Площадь основания $S_{осн} = a^2 = 2 \cdot 31584 = 63168 \text{ м}^2$.

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 63168 \cdot 146$

$V = 21056 \cdot 146 = 3074176 \text{ м}^3$

Ответ: $3074176 \text{ м}^3$.

15.27. На фотографии виден жилой дом, у которого крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием (рис. 15.14). Все ребра пирамиды равны 12 м. Найдите объем крыши этого дома.

Рис. 15.14

Для нахождения объема крыши, которая имеет форму пирамиды, воспользуемся формулой объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

По условию задачи, крыша представляет собой пирамиду с квадратным основанием, и все ее ребра равны 12 м. Это означает, что и стороны основания, и боковые ребра равны 12 м. Такая пирамида является правильной.

1. Вычисление площади основания

Основание пирамиды — это квадрат со стороной $a = 12$ м. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

$S_{осн} = 12^2 = 144$ м².

2. Вычисление высоты пирамиды

Высота $H$ правильной пирамиды опускается из ее вершины в центр квадрата, который является точкой пересечения его диагоналей. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и половина диагонали основания ($d/2$), а гипотенузой — боковое ребро пирамиды $l=12$ м.

Сначала найдем длину диагонали $d$ квадрата в основании по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$

$d = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$ м.

Половина диагонали равна:

$\frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ м.

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой, половиной диагонали и боковым ребром, найдем высоту $H$:

$H^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$

$H^2 = l^2 - (\frac{d}{2})^2 = 12^2 - (6\sqrt{2})^2 = 144 - (36 \cdot 2) = 144 - 72 = 72$

$H = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ м.

3. Вычисление объема крыши

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем пирамиды (крыши):

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6\sqrt{2}$

$V = 48 \cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2}$ м³.

Ответ: $288\sqrt{2}$ м³.

15.28. Ящик для засыпки картофеля имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды (рис. 15.15). Стороны оснований равны соответственно 6 дм и 14,4 дм. Высота пирамиды — 4,3 дм. Найти объем и массу картофеля, который может храниться в ящике, если $1 \text{ дм}^3$ массы клубней весит 0,675кг.

Рис. 15.15

Объем

Ящик для картофеля имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Объем такой фигуры ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$ где $h$ — высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

По условию, основаниями являются квадраты со сторонами $a_1 = 14,4$ дм и $a_2 = 6$ дм. Высота пирамиды $h = 4,3$ дм.

Сначала вычислим площади оснований: Площадь нижнего (большего) основания: $S_1 = a_1^2 = 14,4^2 = 207,36$ дм². Площадь верхнего (меньшего) основания: $S_2 = a_2^2 = 6^2 = 36$ дм².

Теперь найдем среднее геометрическое площадей: $\sqrt{S_1S_2} = \sqrt{207,36 \cdot 36} = \sqrt{7464,96} = 86,4$ дм². Это также можно вычислить как произведение сторон оснований: $a_1 \cdot a_2 = 14,4 \cdot 6 = 86,4$ дм².

Подставим все значения в формулу объема: $V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot (207,36 + 36 + 86,4)$ $V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot 329,76$ $V = 4,3 \cdot \frac{329,76}{3}$ $V = 4,3 \cdot 109,92 = 472,656$ дм³.

Ответ: Объем ящика равен $472,656$ дм³.

Масса картофеля

Известно, что масса 1 дм³ картофеля составляет 0,675 кг. Чтобы найти общую массу картофеля ($m$), который может храниться в ящике, необходимо умножить объем ящика на эту величину.

$m = V \cdot 0,675$ $m = 472,656 \text{ дм}^3 \cdot 0,675 \text{ кг/дм}^3 = 319,0428$ кг.

Ответ: Масса картофеля, который может храниться в ящике, составляет $319,0428$ кг.

15.29. Повторите определения конуса и усеченного конуса.

Определение конуса

Конус (в стереометрии чаще всего имеется в виду прямой круговой конус) — это тело вращения, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет, вокруг которого происходит вращение, является осью конуса и его высотой ($h$). Другой катет образует основание конуса — круг радиуса ($r$), равного длине этого катета. Гипотенуза треугольника, вращаясь, описывает боковую поверхность конуса, и её длина называется образующей ($l$).

Таким образом, элементами конуса являются: вершина (точка, противоположная основанию), основание (круг), боковая поверхность, образующие, высота и радиус. Для прямого кругового конуса высота, радиус и образующая связаны соотношением из теоремы Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, а площадь боковой поверхности — $S_{бок} = \pi r l$.

Ответ: Конус – это геометрическое тело, состоящее из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины), и всех отрезков (образующих), соединяющих вершину с точками окружности основания.

Определение усеченного конуса

Усеченный конус — это часть конуса, которая находится между его основанием и плоскостью, проведенной параллельно основанию. Усеченный конус также является телом вращения. Его можно получить, вращая прямоугольную трапецию вокруг её боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям трапеции.

Усеченный конус имеет два основания: нижнее и верхнее. Оба основания являются кругами, но с разными радиусами, которые обозначаются как $R$ (радиус большего, нижнего основания) и $r$ (радиус меньшего, верхнего основания). Расстояние между плоскостями оснований — это высота усеченного конуса ($h$). Часть образующей исходного конуса, заключенная между основаниями, называется образующей усеченного конуса ($l$). Для прямого усеченного конуса все образующие равны, и их длина вычисляется по формуле $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$. Объем усеченного конуса равен $V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$, а площадь боковой поверхности — $S_{бок} = \pi (R+r)l$.

Ответ: Усеченный конус — это тело, ограниченное двумя параллельными кругами (основаниями) и боковой поверхностью, полученное путем пересечения конуса плоскостью, параллельной его основанию.