Номер 17.14, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.14. Около конуса, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, описан шар. Найдите его объем (рис. 17.8).

Рис. 17.8

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанного вокруг него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — большой круг, который является описанной окружностью для этого треугольника. Радиус этого круга равен радиусу шара $R$.

Пусть осевое сечение конуса — это треугольник $SAB$, где $S$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания. По условию задачи, радиус основания конуса $r$ равен 1 см, а образующая $l$ равна 2 см.

Стороны треугольника $SAB$ равны: боковые стороны $SA = l = 2$ см и $SB = l = 2$ см. Основание треугольника $AB$ равно диаметру основания конуса, то есть $AB = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см. Так как все три стороны треугольника равны ($SA = SB = AB = 2$ см), то треугольник $SAB$ является равносторонним.

Радиус шара $R$ — это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника $SAB$. Радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. В нашем случае сторона $a = 2$ см, поэтому радиус шара равен:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, зная радиус шара, можем вычислить его объем по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим найденное значение $R$ в формулу объема:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2^3 \cdot (\sqrt{3})^3}{3^3}\right) = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27}\right) = \frac{4}{3}\pi \frac{8\sqrt{3}}{9} = \frac{32\sqrt{3}\pi}{27}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{32\sqrt{3}\pi}{27}$ см$^3$.