Номер 3, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Проверь себя!. Глава III. Объемы тел - номер 3, страница 100.

Условие.

3. Объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 6 $см^3$. Найдите объем тетраэдра $ACB_1D_1$:

A) 1 $см^3$; B) 2 $см^3$; C) 3 $см^3$; D) 4 $см^3$.

Решение.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Объем куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$. По условию задачи, $V_{куба} = 6 \text{ см}^3$.

Тетраэдр $ACB_1D_1$ вписан в куб. Его объем можно найти, если из объема всего куба вычесть объемы четырех пирамид, которые "отсекаются" от углов куба плоскостями, являющимися гранями тетраэдра. Эти четыре пирамиды конгруэнтны (равны) друг другу.

Рассмотрим одну из таких пирамид, например, пирамиду с вершиной в точке $B$ и основанием $ACB_1$? Нет, это неверно. Рассмотрим пирамиду, отсекаемую от угла $B$. Вершинами этой пирамиды будут $A, B, C, B_1$. Удобно принять за основание этой пирамиды треугольник $ABC$, который лежит в основании куба. Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как угол $\angle B = 90^\circ$. Его катеты $AB$ и $BC$ равны ребру куба $a$.

Площадь основания этой пирамиды (треугольника $ABC$) равна:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

Высотой этой пирамиды является ребро $BB_1$, перпендикулярное основанию $ABC$. Длина высоты $h = BB_1 = a$.

Объем одной такой пирамиды равен:$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\right) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.

Таких пирамид четыре (с вершинами в точках $B, D, A_1, C_1$, которые не являются вершинами тетраэдра $ACB_1D_1$). Общий объем этих четырех пирамид:$V_{4пир} = 4 \cdot V_{пир} = 4 \cdot \frac{1}{6}a^3 = \frac{4}{6}a^3 = \frac{2}{3}a^3$.

Теперь найдем объем тетраэдра $ACB_1D_1$, вычитая из объема куба суммарный объем четырех пирамид:$V_{тетр} = V_{куба} - V_{4пир} = a^3 - \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^3$.

Мы знаем, что объем куба $a^3 = 6 \text{ см}^3$. Подставим это значение в формулу для объема тетраэдра:$V_{тетр} = \frac{1}{3} \cdot (6 \text{ см}^3) = 2 \text{ см}^3$.

Решение:
Пусть сторона куба равна $a$. Объем куба $V_{куба} = a^3 = 6 \text{ см}^3$.
Объем тетраэдра $ACB_1D_1$ можно найти, вычтя из объема куба объемы четырех одинаковых пирамид по углам: $B_1-ABC$, $D_1-ADC$, $A-A_1B_1D_1$ и $C-C_1B_1D_1$.
Объем одной такой пирамиды, например $B_1-ABC$, равен $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot BB_1$.
Площадь основания $S_{ABC} = \frac{1}{2} a^2$, высота $BB_1 = a$.
$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}a^2 \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.
Суммарный объем четырех пирамид $V_{4пир} = 4 \cdot \frac{1}{6}a^3 = \frac{2}{3}a^3$.
Объем тетраэдра $V_{тетр} = V_{куба} - V_{4пир} = a^3 - \frac{2}{3}a^3 = \frac{1}{3}a^3$.
Так как $a^3 = 6 \text{ см}^3$, то $V_{тетр} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ см}^3$.
Ответ: B) $2 \text{ см}^3$.