Номер 7, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Объем правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ равен 12 $см^3$. Найдите объем параллелепипеда $ABDE A_1 B_1 D_1 E_1$:

A) 2 $см^3$; B) 4 $см^3$; C) 6 $см^3$; D) 8 $см^3$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. Поскольку правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и параллелепипед $ABDEA_1B_1D_1E_1$ имеют одинаковую высоту $h$, то отношение их объемов равно отношению площадей их оснований. Обозначим объем призмы как $V_{призмы} = 12 \text{ см}^3$, а искомый объем параллелепипеда как $V_{пар}$. Тогда $ \frac{V_{пар}}{V_{призмы}} = \frac{S_{ABDE}}{S_{ABCDEF}} $.

Найдем площадь основания правильной шестиугольной призмы, $S_{ABCDEF}$. Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, следовательно, площадь всего шестиугольника: $S_{ABCDEF} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем площадь основания параллелепипеда, $S_{ABDE}$. Основанием является четырехугольник $ABDE$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a$ большая диагональ, например $AD$, равна $2a$, а малая диагональ, например $BD$, равна $a\sqrt{3}$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны равны $AB = a$, $BD = a\sqrt{3}$ и $AD = 2a$. Проверим, является ли он прямоугольным, по теореме Пифагора: $AB^2 + BD^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$. Поскольку $AD^2 = (2a)^2 = 4a^2$, то $AB^2 + BD^2 = AD^2$. Следовательно, треугольник $ABD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Его площадь равна $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Основание параллелепипеда $ABDE$ является параллелограммом и состоит из двух таких равных треугольников ($ABD$ и $EDA$), поэтому его площадь: $S_{ABDE} = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = a^2\sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти отношение площадей оснований: $ \frac{S_{ABDE}}{S_{ABCDEF}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3} $. Таким образом, объем параллелепипеда составляет $\frac{2}{3}$ от объема шестиугольной призмы. Вычислим искомый объем: $V_{пар} = \frac{2}{3} \cdot V_{призмы} = \frac{2}{3} \cdot 12 \text{ см}^3 = 8 \text{ см}^3$.

Ответ: 8 см³.