Номер 12, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 8 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в два раза меньше первого:

А) 16 см;

В) 32 см;

С) 48 см;

D) 64 см?

Пусть $V$ — объем жидкости, который остается неизменным при переливании из одного сосуда в другой. Объем жидкости в первом цилиндрическом сосуде определяется формулой $V = S_1 \cdot h_1$, где $S_1$ — площадь основания первого сосуда, а $h_1$ — высота уровня жидкости. По условию, $h_1 = 8$ см.

Площадь основания цилиндра (круга) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Поскольку радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу можно записать через диаметр $d$: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Таким образом, объем жидкости в первом сосуде: $V_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$.

По условию, диаметр второго сосуда $d_2$ в два раза меньше диаметра первого сосуда $d_1$. Это означает, что $d_2 = \frac{d_1}{2}$.

Найдем площадь основания второго сосуда $S_2$:

$S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (\frac{d_1}{2})^2}{4} = \frac{\pi \frac{d_1^2}{4}}{4} = \frac{\pi d_1^2}{16}$.

Сравнивая площади оснований, видим, что $S_2 = \frac{S_1}{4}$. То есть, площадь основания второго сосуда в 4 раза меньше площади основания первого.

Объем жидкости во втором сосуде равен $V_2 = S_2 \cdot h_2$, где $h_2$ — искомая высота.

Так как объем жидкости не изменился, $V_1 = V_2$, следовательно:

$S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$

Подставим выражение для $S_2$:

$S_1 \cdot h_1 = \frac{S_1}{4} \cdot h_2$

Сократим $S_1$ в обеих частях уравнения (так как площадь не равна нулю):

$h_1 = \frac{h_2}{4}$

Отсюда выразим $h_2$:

$h_2 = 4 \cdot h_1$

Теперь подставим известное значение $h_1 = 8$ см:

$h_2 = 4 \cdot 8 = 32$ см.

Ответ: B) 32 см.