Номер 9, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Объем правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды $A_1ABCD$:

A) $1 \text{ см}^3$;

B) $2 \text{ см}^3$;

C) $3 \text{ см}^3$;

D) $4 \text{ см}^3$.

Объем правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{основания} \times h$, где $S_{основания}$ — площадь основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$), а $h$ — высота призмы (длина ребра $AA_1$). По условию, $V_{призмы} = 12$ см³.

Объем пирамиды $A_1ABCD$ вычисляется по формуле $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \times h_{пирамиды}$.

Высота пирамиды $h_{пирамиды}$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Поскольку призма правильная (а значит, прямая), ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, высота пирамиды совпадает с высотой призмы: $h_{пирамиды} = AA_1 = h$.

Теперь найдем соотношение между площадью основания пирамиды ($S_{ABCD}$) и площадью основания призмы ($S_{ABCDEF}$).

Основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $S_{ABCDEF} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Основание пирамиды — это четырехугольник $ABCD$, который является частью шестиугольника. Этот четырехугольник представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $BC$ и $AD$. Длина меньшего основания $BC$ равна стороне шестиугольника $a$. Длина большего основания $AD$ равна большой диагонали шестиугольника, то есть $2a$.

Высоту трапеции можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $CD=a$, высотой трапеции и отрезком на большем основании. Длина этого отрезка равна $\frac{AD-BC}{2} = \frac{2a-a}{2} = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора высота трапеции равна $\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Площадь трапеции $ABCD$ равна:

$S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} \times (\text{высота}) = \frac{a+2a}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем отношение площадей оснований:

$\frac{S_{ABCD}}{S_{ABCDEF}} = \frac{3a^2\sqrt{3}/4}{3a^2\sqrt{3}/2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания призмы: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCDEF}$.

Подставим это соотношение в формулу для объема пирамиды:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \times h = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} S_{ABCDEF}\right) \times h = \frac{1}{6} (S_{ABCDEF} \times h)$.

Поскольку $V_{призмы} = S_{ABCDEF} \times h = 12$ см³, то объем пирамиды равен:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{6} V_{призмы} = \frac{1}{6} \times 12 = 2$ см³.

Ответ: 2 см³.