Номер 8, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Объем треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равен 6 см$^3$. Найдите объем четырехугольной пирамиды $A_1 BCC_1 B_1$:

A) 1 см$^3$;

B) 2 см$^3$;

C) 3 см$^3$;

D) 4 см$^3$.

Объем triangularной призмы $ABCA_1B_1C_1$ можно представить как сумму объемов двух фигур, на которые ее можно разделить плоскостью, проходящей через вершины $A_1$, $B$, $C$. Этими фигурами являются:

1. Треугольная пирамида $A_1ABC$ с вершиной в точке $A_1$ и основанием $ABC$.

2. Четырехугольная пирамида $A_1BCC_1B_1$ с вершиной в точке $A_1$ и основанием в виде боковой грани $BCC_1B_1$.

Таким образом, объем всей призмы равен сумме объемов этих двух пирамид:

$V_{призмы} = V_{A_1ABC} + V_{A_1BCC_1B_1}$

Найдем объем треугольной пирамиды $A_1ABC$. Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота.

Для пирамиды $A_1ABC$ основанием является треугольник $ABC$, площадь которого равна площади основания призмы $S_{ABC}$. Высота этой пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$, что совпадает с высотой призмы $h$.

Следовательно, объем этой пирамиды:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{ABC} \cdot h$. По условию, $V_{призмы} = 6 \text{ см}^3$.

Таким образом, мы можем выразить объем пирамиды $A_1ABC$ через объем призмы:

$V_{A_1ABC} = \frac{1}{3} V_{призмы} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ см}^3$.

Теперь, зная объем всей призмы и объем одной из ее частей, мы можем найти объем второй части – четырехугольной пирамиды $A_1BCC_1B_1$:

$V_{A_1BCC_1B_1} = V_{призмы} - V_{A_1ABC}$

$V_{A_1BCC_1B_1} = 6 - 2 = 4 \text{ см}^3$.

Ответ: 4 см³.