Номер 11, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см и образуют угол $30^\circ$ с плоскостью основания этой пирамиды:

A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см$^3$; B) $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ см$^3$; C) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^3$; D) $\sqrt{3}$ см$^3$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{основания} \cdot h$, где $S_{основания}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды (которое является гипотенузой), высотой пирамиды $h$ (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость основания (второй катет). По условию, длина бокового ребра равна 2 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания (то есть угол между гипотенузой и вторым катетом) составляет $30^{\circ}$.

Высота пирамиды $h$ является катетом, противолежащим углу в $30^{\circ}$, следовательно:
$h = 2 \cdot \sin(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Проекция бокового ребра на основание — это катет, прилежащий к углу в $30^{\circ}$. Для правильной шестиугольной пирамиды эта проекция равна радиусу описанной окружности, который, в свою очередь, равен стороне основания $a$.
$a = 2 \cdot \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{основания} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем найденное значение $a = \sqrt{3}$ см:
$S_{основания} = \frac{3(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ см².

Наконец, вычислим объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см³.