Номер 18, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите объем усеченного конуса, осевым сечением которого является равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см, 2 см, а боковые стороны равны 2 см:

A) $\frac{4\sqrt{3}}{3}\pi$ см³;

B) $\frac{5\sqrt{3}}{3}\pi$ см³;

C) $\frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$ см³;

D) $\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi$ см³.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $h$ — высота конуса, $R$ и $r$ — радиусы его большего и меньшего оснований соответственно.

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Основания этой трапеции являются диаметрами оснований конуса. По условию, основания трапеции равны 4 см и 2 см. Следовательно, диаметры оснований конуса — $D = 4$ см и $d = 2$ см.

Найдем радиусы оснований:

Радиус большего основания: $R = \frac{D}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Высота конуса $h$ равна высоте трапеции. Боковая сторона трапеции, равная 2 см, является образующей усеченного конуса $l$.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции (катет), боковой стороной (гипотенуза $l=2$ см) и отрезком на большем основании (второй катет). Этот отрезок равен полуразности оснований трапеции.

Длина второго катета: $\frac{4-2}{2} = 1$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$ см.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \sqrt{3} (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2)$

$V = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} (4 + 2 + 1) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \cdot 7 = \frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$.