Номер 19, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Площадь поверхности шара равна 36 $cm^2$. Найдите объем этого шара:

A) $24\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ $cm^3$;

B) $36\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ $cm^3$;

C) $48\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ $cm^3$;

D) $60\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ $cm^3$.

Для решения задачи нам понадобятся две основные формулы, связанные с шаром: формула площади поверхности и формула объема.

1. Нахождение радиуса шара.

Площадь поверхности шара ($S$) вычисляется по формуле: $S = 4\pi R^2$, где $R$ – это радиус шара.

Согласно условию задачи, площадь поверхности равна $36$ см². Подставим это значение в формулу:

$36 = 4\pi R^2$

Чтобы найти радиус, сначала выразим $R^2$:

$R^2 = \frac{36}{4\pi} = \frac{9}{\pi}$

Теперь найдем сам радиус $R$, извлекая квадратный корень из полученного выражения:

$R = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$ см.

2. Нахождение объема шара.

Объем шара ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим в эту формулу найденное нами значение радиуса $R = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^3$

Сначала возведем радиус в третью степень:

$\left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^3 = \frac{3^3}{(\sqrt{\pi})^3} = \frac{27}{\pi\sqrt{\pi}}$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу для объема:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{\pi\sqrt{\pi}}$

Проведем сокращения: $\pi$ в числителе и знаменателе сокращаются, а также 27 и 3 (27 / 3 = 9).

$V = \frac{4 \cdot 9}{\sqrt{\pi}} = \frac{36}{\sqrt{\pi}}$

Чтобы привести ответ к виду, представленному в вариантах, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{\pi}$:

$V = \frac{36}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = \frac{36\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом B).

Ответ: B) $36\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³.