Номер 17, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Разверткой боковой поверхности конуса служит круговой сектор радиусом 3 см и центральным углом 120°. Найдите объем конуса:
A) $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³; B) $\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$ см³; C) $\frac{2\pi}{3}$ см³; D) $\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота. Нам необходимо найти $r$ и $h$ из данных задачи.

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса ($L$), а длина дуги сектора ($C_{дуги}$) равна длине окружности основания конуса ($C_{осн}$).

Из условия задачи мы знаем, что радиус сектора, а значит и образующая конуса, $L = 3$ см. Центральный угол сектора $\alpha = 120^{\circ}$.

Сначала найдем длину дуги сектора. Формула для длины дуги: $C_{дуги} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi L$.Подставив наши значения, получаем: $C_{дуги} = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 6\pi = 2\pi$ см.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C_{осн} = 2 \pi r$. Следовательно, мы можем приравнять эти два значения: $2\pi = 2 \pi r$. Отсюда находим радиус основания конуса: $r = 1$ см.

Далее найдем высоту конуса $h$. Образующая $L$, радиус $r$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора: $L^2 = r^2 + h^2$.Подставим известные значения: $3^2 = 1^2 + h^2$.$9 = 1 + h^2$.$h^2 = 9 - 1 = 8$.$h = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, когда у нас есть радиус основания и высота, мы можем вычислить объем конуса:$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 2\sqrt{2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.

Этот результат соответствует варианту D) в списке ответов.

Ответ: D) $\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.