Номер 39, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

39. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник в основании. Пусть боковая грань, перпендикулярная плоскости основания, — это грань $SAD$.

Поскольку плоскость грани $(SAD)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$, то высота пирамиды, опущенная из вершины $S$, будет лежать в плоскости $(SAD)$. Основание этой высоты, точка $H$, будет находиться на линии пересечения плоскостей $(SAD)$ и $(ABCD)$, то есть на стороне $AD$. Таким образом, $SH$ — высота пирамиды, и $SH \perp AD$. Из условия задачи известно, что высота пирамиды равна 6 см, следовательно, $SH = 6$ см.

Остальные три боковые грани ($SAB$, $SBC$ и $SCD$) наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Угол наклона грани к основанию — это линейный угол двугранного угла, образованный высотой боковой грани (апофемой) и ее проекцией на плоскость основания.

Рассмотрим грань $SCD$. Прямая пересечения с основанием — $CD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \perp CD$. Поскольку $H$ лежит на $AD$, отрезок $HD$ является проекцией наклонной $SD$ на плоскость основания. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция $HD$ перпендикулярна прямой $CD$, то и наклонная $SD$ перпендикулярна $CD$. Значит, $SD$ — это высота грани $SCD$, а угол $\angle SDH$ — линейный угол двугранного угла, который по условию равен $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SHD$ ($\angle SHD = 90^\circ$) находим катет $HD$:
$HD = \frac{SH}{\tan(\angle SDH)} = \frac{6}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим грань $SAB$. Аналогично, прямая пересечения — $AB$. Так как $AD \perp AB$, то проекция наклонной $SA$ на плоскость основания есть $HA$. По теореме о трех перпендикулярах, $SA \perp AB$. Следовательно, $SA$ — высота грани $SAB$, а угол $\angle SAH$ равен $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SHA$ ($\angle SHA = 90^\circ$) находим катет $HA$:
$HA = \frac{SH}{\tan(\angle SAH)} = \frac{6}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь можем определить длину стороны $AD$ прямоугольника, которая является суммой длин отрезков $HA$ и $HD$:
$AD = HA + HD = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим грань $SBC$. Прямая пересечения — $BC$. Чтобы найти линейный угол, проведем из точки $H$ перпендикуляр $HM$ к стороне $BC$. В прямоугольнике $ABCD$ этот перпендикуляр $HM$ будет параллелен и равен стороне $AB$. Пусть $AB = b$, тогда $HM = b$. По теореме о трех перпендикулярах, $SM \perp BC$, и угол $\angle SMH$ — это угол наклона грани $SBC$, равный $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SHM$ ($\angle SHM = 90^\circ$) находим катет $HM$:
$HM = \frac{SH}{\tan(\angle SMH)} = \frac{6}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
Таким образом, длина стороны $AB$ прямоугольника равна $AB = HM = 2\sqrt{3}$ см.

Мы нашли стороны основания: $AD = 4\sqrt{3}$ см и $AB = 2\sqrt{3}$ см. Вычислим площадь основания:
$S_{ABCD} = AD \cdot AB = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$ см$^2$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot H_{пирамиды}$. Подставим найденные значения:
$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см$^3$.

Ответ: $48$ см$^3$.