Номер 36, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2 см, а боковые ребра равны $2\sqrt{3}$ см и наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ см. Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников, на которые он делится большими диагоналями. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 2$ см:

$S_{\triangle} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

Площадь основания призмы, состоящего из шести таких треугольников, равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение высоты призмы.

Так как призма наклонная, ее высота $H$ не равна длине бокового ребра. Боковое ребро $l$, высота $H$ и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания $\alpha = 30^{\circ}$ является углом между боковым ребром (гипотенузой) и его проекцией (катетом).

Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, ее можно найти по формуле:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем известные значения: $l = 2\sqrt{3}$ см и $\alpha = 30^{\circ}$:

$H = 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объема призмы.

Теперь мы можем вычислить объем призмы, используя найденные значения площади основания и высоты:

$V = S_{осн} \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см³.

Ответ: $18$ см³.