Номер 38, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

38. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 $cm$, объем равен 200 $cm^3$. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

1. Нахождение площади основания пирамиды
Объем пирамиды определяется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $V$ — объем, $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.
По условию задачи $V = 200 \text{ см}^3$ и $H = 12 \text{ см}$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти площадь основания:
$200 = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot 12$
$200 = 4 \cdot S_{осн}$
$S_{осн} = \frac{200}{4} = 50 \text{ см}^2$.

2. Нахождение стороны основания
Поскольку пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$.
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$. Следовательно:
$a^2 = 50$
$a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

3. Нахождение половины диагонали основания
Боковое ребро пирамиды, ее высота и половина диагонали основания образуют прямоугольный треугольник. Найдем сначала всю диагональ $d$ квадрата в основании по формуле $d = a\sqrt{2}$:
$d = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}$.
Радиус описанной окружности основания (или половина диагонали) будет равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$.

4. Нахождение бокового ребра пирамиды
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, половиной диагонали основания $R$ и боковым ребром $l$ (которое является гипотенузой).
По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + R^2$
Подставим известные значения $H=12$ см и $R=5$ см:
$l^2 = 12^2 + 5^2$
$l^2 = 144 + 25$
$l^2 = 169$
$l = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.
Ответ: 13 см.