Номер 46, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

46. Объем куба равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Для нахождения объема пирамиды можно использовать два способа.

Первый способ, более наглядный, заключается в мысленном разделении куба на части. Куб имеет 6 граней. Если соединить центр куба с вершинами каждой грани, то куб разделится на 6 одинаковых четырехугольных пирамид. Основанием каждой такой пирамиды будет грань куба, а вершиной — центр куба. Эти 6 пирамид полностью заполняют объем куба без пересечений. Следовательно, объем одной такой пирамиды составляет одну шестую часть от объема всего куба.

Пусть $V_{куба}$ — объем куба, а $V_{пирамиды}$ — объем искомой пирамиды. Тогда:

$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6}$

По условию задачи, $V_{куба} = 12 \text{ см}^3$. Подставим это значение в формулу:

$V_{пирамиды} = \frac{12 \text{ см}^3}{6} = 2 \text{ см}^3$.

Второй способ — использование формул.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем куба $V_{куба} = a^3$.

Основанием нашей пирамиды является грань куба, которая представляет собой квадрат со стороной $a$. Значит, площадь основания $S_{осн} = a^2$.

Высотой пирамиды является расстояние от ее вершины (центра куба) до плоскости основания (грани куба). Это расстояние равно половине длины ребра куба, то есть $h = \frac{a}{2}$.

Подставим эти выражения в формулу объема пирамиды:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}$.

Так как объем куба $V_{куба} = a^3 = 12 \text{ см}^3$, то объем пирамиды равен:

$V_{пирамиды} = \frac{12 \text{ см}^3}{6} = 2 \text{ см}^3$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 2 см³.