Номер 48, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

48. Объем треугольной пирамиды $SABC$, являющейся частью правиль-

ной шестиугольной пирамиды $SABCDF$, равен $1 \text{ см}^3$. Найдите

объем шестиугольной пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Пусть $V_{полн}$ — искомый объем правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, а $V_{часть}$ — объем треугольной пирамиды $SABC$, который дан в условии.

$V_{полн} = \frac{1}{3} S_{ABCDEF} \cdot h$

$V_{часть} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$

Обе пирамиды имеют общую вершину $S$ и их основания лежат в одной плоскости, поэтому их высоты $h$ равны. Отношение их объемов равно отношению площадей их оснований:

$ \frac{V_{полн}}{V_{часть}} = \frac{\frac{1}{3} S_{ABCDEF} \cdot h}{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h} = \frac{S_{ABCDEF}}{S_{ABC}} $

Теперь найдем отношение площади основания правильного шестиугольника $ABCDEF$ к площади треугольника $ABC$.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$. Основание $ABCDEF$ можно разделить на шесть равных равносторонних треугольников с общей вершиной в центре шестиугольника. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь всего шестиугольника: $S_{ABCDEF} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Найдем площадь треугольника $ABC$. Стороны $AB$ и $BC$ равны $a$. Угол между ними, $\angle ABC$, является внутренним углом правильного шестиугольника и равен $120^\circ$. Площадь треугольника $ABC$ найдем по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120^\circ)$.

Поскольку $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S_{ABC} = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Теперь можем найти отношение площадей: $\frac{S_{ABCDEF}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{1} = 6$.

Таким образом, площадь основания шестиугольной пирамиды в 6 раз больше площади основания треугольной пирамиды. Так как высоты у них равны, то и объем шестиугольной пирамиды в 6 раз больше объема треугольной.

$V_{полн} = 6 \cdot V_{часть}$

По условию $V_{часть} = 1$ см³. Значит: $V_{полн} = 6 \cdot 1 = 6$ см³.

Ответ: 6 см³.