Номер 28, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Если каждое ребро куба увеличить на 1 см, то его объем увеличится на $19 \text{ см}^3$. Найдите ребро куба.

Пусть $a$ — длина ребра исходного куба в сантиметрах. Тогда его объем равен $V_1 = a^3$.

Если каждое ребро увеличить на 1 см, его длина станет $(a + 1)$ см, а новый объем будет равен $V_2 = (a + 1)^3$.

Разница между новым и старым объемом по условию составляет 19 см³. Составим уравнение, исходя из этого условия: $V_2 - V_1 = 19$ $(a + 1)^3 - a^3 = 19$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$: $(a^3 + 3a^2 \cdot 1 + 3a \cdot 1^2 + 1^3) - a^3 = 19$

После упрощения и приведения подобных слагаемых получаем: $3a^2 + 3a + 1 = 19$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2+Bx+C=0$, перенеся 19 в левую часть: $3a^2 + 3a + 1 - 19 = 0$ $3a^2 + 3a - 18 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 3: $a^2 + a - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-3$. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -3$.

Так как длина ребра куба не может быть отрицательной величиной, корень $a = -3$ не является решением задачи. Следовательно, длина ребра исходного куба составляет 2 см.

Проверим найденное решение. Исходный объем куба с ребром 2 см равен $2^3 = 8$ см³. Объем куба с увеличенным ребром (3 см) равен $3^3 = 27$ см³. Разница объемов составляет $27 - 8 = 19$ см³, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 2 см.