Номер 28, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона основания по условию равна $a = 6$ см. Площадь основания (квадрата) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Основание каждого треугольника равно стороне основания пирамиды ($a = 6$ см), а боковые стороны являются боковыми ребрами пирамиды ($l = 5$ см).

Чтобы найти площадь одного такого треугольника, нужно вычислить его высоту, которая в пирамиде называется апофемой ($h_a$). Рассмотрим боковую грань. Апофема, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка по $6 \div 2 = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), апофемой (катет) и половиной стороны основания (второй катет). По теореме Пифагора найдем апофему:

$h_a^2 = l^2 - (a/2)^2$

$h_a^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$h_a = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь найдем площадь одной боковой грани (треугольника):

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см$^2$.

Площадь всей боковой поверхности равна сумме площадей четырех таких треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 12 = 48$ см$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды.

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 48 = 84$ см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.