Номер 34, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Площадь поверхности конуса равна $12 \text{ см}^2$. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь поверхности отсеченного конуса.

35. Объемы равны $36\pi$. Найти площадь поверхности сферы

Пусть $S$ — площадь полной поверхности исходного конуса, $H$ — его высота, $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей. По условию задачи, $S = 12 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Обозначим параметры отсеченного (меньшего) конуса как $S'$, $h$, $r$ и $l$ соответственно (площадь, высота, радиус и образующая).

По условию, секущая плоскость делит высоту исходного конуса пополам. Это означает, что высота отсеченного конуса $h$ равна половине высоты исходного конуса $H$:

$h = \frac{1}{2}H$

Так как отсеченный конус подобен исходному, отношение их соответственных линейных размеров (высот, радиусов, образующих) равно коэффициенту подобия $k$.

$k = \frac{h}{H} = \frac{r}{R} = \frac{l}{L}$

Используя соотношение высот, находим коэффициент подобия:

$k = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Это свойство справедливо и для площадей полной поверхности конусов:

$\frac{S'}{S} = k^2$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти площадь поверхности отсеченного конуса $S'$:

$\frac{S'}{12} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда выражаем $S'$:

$S' = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 \text{ см}^2$

Ответ: 3 см².