Номер 156, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 156, страница 180.

Условие.

22.156. Пусть вершина $A$ равностороннего треугольника $ABC$ является центром поворота на угол $120^\circ$. Найдите отрезок $BC_1$, где точка $C_1$ — образ точки $C$ при указанном повороте, если $AB = 1$ см.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны, а все углы равны $60^\circ$. Так как $AB = 1$ см, то $AC = BC = 1$ см, и $\angle BAC = 60^\circ$.

Точка $C_1$ является образом точки $C$ при повороте вокруг центра $A$ на угол $120^\circ$. Из определения поворота следует, что расстояние от центра поворота до образа точки равно расстоянию от центра до самой точки. Следовательно, $AC_1 = AC = 1$ см. Также, угол между отрезками, соединяющими центр поворота с исходной точкой и ее образом, равен углу поворота. Таким образом, $\angle CAC_1 = 120^\circ$.

Для нахождения длины отрезка $BC_1$ рассмотрим треугольник $ABC_1$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон: $AB = 1$ см и $AC_1 = 1$ см. Треугольник $ABC_1$ является равнобедренным.

Длину стороны $BC_1$ можно найти по теореме косинусов:

$BC_1^2 = AB^2 + AC_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AC_1 \cdot \cos(\angle BAC_1)$

$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\angle BAC_1) = 2 - 2\cos(\angle BAC_1)$

Величина угла $\angle BAC_1$ зависит от взаимного расположения лучей $AB$ и $AC_1$ относительно луча $AC$. Условие задачи не уточняет ориентацию треугольника $ABC$ (по часовой или против часовой стрелки перечислены вершины) и направление поворота. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Лучи $AB$ и $AC_1$ расположены по одну сторону от прямой $AC$.

В этом случае угол $\angle BAC_1$ равен разности углов $\angle CAC_1$ и $\angle BAC$:

$\angle BAC_1 = |\angle CAC_1 - \angle BAC| = |120^\circ - 60^\circ| = 60^\circ$.

Так как треугольник $ABC_1$ равнобедренный ($AB=AC_1$) и угол при вершине $A$ равен $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, $BC_1 = AB = AC_1 = 1$ см.

Случай 2: Лучи $AB$ и $AC_1$ расположены по разные стороны от прямой $AC$.

В этом случае угол $\angle BAC_1$ равен сумме углов $\angle CAC_1$ и $\angle BAC$:

$\angle BAC_1 = \angle CAC_1 + \angle BAC = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.

Угол в $180^\circ$ означает, что точки $B$, $A$ и $C_1$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ находится между точками $B$ и $C_1$. Тогда длина отрезка $BC_1$ равна сумме длин отрезков $BA$ и $AC_1$:

$BC_1 = BA + AC_1 = 1 \text{ см} + 1 \text{ см} = 2$ см.

Поскольку в условии задачи не содержится информации для однозначного выбора одного из случаев, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 1 см или 2 см.