Номер 150, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 150, страница 179.

Условие.

22.150. Медианы треугольника ABC, изображённого на рисунке 22.16, пересекаются в точке $M$. Найдите коэффициент:

1) гомотетии с центром $M$, при которой точка $C_1$ является образом точки $C$;

2) гомотетии с центром $B$, при которой точка $M$ является образом точки $B_1$.

Рис. 22.14

Рис. 22.15

Рис. 22.16

Решение 1.

Решение 3.

В треугольнике $ABC$ отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ являются медианами, которые пересекаются в точке $M$. По свойству точки пересечения медиан треугольника (центроида), она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. То есть: $AM : MA_1 = BM : MB_1 = CM : MC_1 = 2 : 1$.

1) Найдём коэффициент гомотетии с центром в точке $M$, при которой точка $C_1$ является образом точки $C$. Пусть $k_1$ — искомый коэффициент гомотетии. По определению гомотетии, для центра $M$, прообраза $C$ и её образа $C_1$ выполняется векторное равенство: $\vec{MC_1} = k_1 \cdot \vec{MC}$. Точки $C$, $M$ и $C_1$ лежат на одной прямой — медиане $CC_1$. Поскольку точка $M$ лежит между точками $C$ и $C_1$, векторы $\vec{MC_1}$ и $\vec{MC}$ противоположно направлены. Это означает, что коэффициент гомотетии $k_1$ будет отрицательным. Из свойства медиан известно, что $CM : MC_1 = 2 : 1$, или $CM = 2 \cdot MC_1$. Модуль коэффициента гомотетии равен отношению расстояний от центра гомотетии до образа и прообраза: $|k_1| = \frac{MC_1}{MC}$. Подставим известное соотношение: $|k_1| = \frac{MC_1}{2 \cdot MC_1} = \frac{1}{2}$. Учитывая, что коэффициент отрицательный, получаем $k_1 = - \frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Найдём коэффициент гомотетии с центром в точке $B$, при которой точка $M$ является образом точки $B_1$. Пусть $k_2$ — искомый коэффициент гомотетии. По определению гомотетии, для центра $B$, прообраза $B_1$ и его образа $M$ выполняется векторное равенство: $\vec{BM} = k_2 \cdot \vec{BB_1}$. Точки $B$, $M$ и $B_1$ лежат на одной прямой — медиане $BB_1$. Поскольку точка $M$ лежит между точками $B$ и $B_1$, векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BB_1}$ сонаправлены (направлены в одну сторону). Это означает, что коэффициент гомотетии $k_2$ будет положительным. Из свойства медиан известно, что $BM : MB_1 = 2 : 1$. Выразим длину всей медианы $BB_1$ через её части: $BB_1 = BM + MB_1$. Так как $MB_1 = \frac{1}{2} BM$, то $BB_1 = BM + \frac{1}{2} BM = \frac{3}{2} BM$. Отсюда следует, что $BM = \frac{2}{3} BB_1$. Коэффициент гомотетии равен отношению длин соответствующих отрезков (так как он положителен): $k_2 = \frac{BM}{BB_1}$. Подставим найденное соотношение: $k_2 = \frac{\frac{2}{3} BB_1}{BB_1} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.